推理与证明(含答案)

推理与证明考情解读1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现.2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题．1．合情推理(1)归纳推理①归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．②归纳推理的思维过程如下：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论(2)类比推理①类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．②类比推理的思维过程如下：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论2．演绎推理(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(2)合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．3．直接证明(1)综合法用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q(2)分析法用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件4．间接证明反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p，则q”的过程可以用如图所示的框图表示．肯定条件p否定结论q→导致逻辑矛盾→“既p，又綈q”为假→“若p，则q”为真5．数学归纳法数学归纳法证明的步骤：(1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．(2)假设n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，对任意n≥n0，且n∈N*时，命题都成立．热点一归纳推理例1(1)有菱形纹的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A．26B．31C．32D．36(2)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是()A．48,49B．62,63C．75,76D．84,85思维启迪(1)根据三个图案中的正六边形个数寻求规律；(2)靠窗口的座位号码能被5整除或者被5除余1.答案(1)B(2)D解析(1)有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123…个数61116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B.(2)由已知图形中座位的排列顺序，可得：被5除余1的数和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，只有D符合条件．思维升华归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察——归纳——猜想——证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．(1)四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上(如图)，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…这样交替进行下去，那么第202次互换座位后，小兔坐在第______号座位上．1鼠2猴3兔4猫开始1兔2猫3鼠4猴第一次1猫2兔3猴4鼠第二次1猴2鼠3猫4兔第三次A．1B．2C．3D．4(2)已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，经计算得f(4)2，f(8)52，f(16)3，f(32)72，则有________________．答案(1)B(2)f(2n)n＋22(n≥2，n∈N*)解析(1)考虑小兔所坐的座位号，第一次坐在1号位上，第二次坐在2号位上，第三次坐在4号位上，第四次坐在3号位上，第五次坐在1号位上，因此小兔的座位数更换次数以4为周期，因为202＝50×4＋2，因此第202次互换后，小兔所在的座位号与小兔第二次互换座位号所在的座位号相同，因此小兔坐在2号位上，故选B.(2)由题意得f(22)42，f(23)52，f(24)62，f(25)72，所以当n≥2时，有f(2n)n＋22.故填f(2n)n＋22(n≥2，n∈N*)．热点二类比推理例2(1)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则S1S2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则V1V2＝________.(2)已知双曲正弦函数shx＝ex－e－x2和双曲余弦函数chx＝ex＋e－x2与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角．．．．．公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个．．类似的正确结论________．思维启迪(1)平面几何中的面积可类比到空间几何中的体积；(2)可利用和角或差角公式猜想，然后验证．答案(1)127(2)ch(x－y)＝chxchy－shxshy解析(1)平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，所以V1V2＝127.(2)chxchy－shxshy＝ex＋e－x2·ey＋e－y2－ex－e－x2·ey－e－y2＝14(ex＋y＋ex－y＋e－x＋y＋e－x－y－ex＋y＋ex－y＋e－x＋y－e－x－y)＝14(2ex－y＋2e－(x－y))＝ex－y＋e－x－y2＝ch(x－y)，故知ch(x＋y)＝chxchy＋shxshy，或sh(x－y)＝shxchy－chxshy，或sh(x＋y)＝shxchy＋chxshy.思维升华类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起．当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比，例2即属于此类题型．一般来说，高考中的类比问题多发生在横向与纵向类比上，如圆锥曲线中椭圆与双曲线等的横向类比以及平面与空间中三角形与三棱锥的纵向类比等．(1)若数列{an}是等差数列，bn＝a1＋a2＋…＋ann，则数列{bn}也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为()A．dn＝c1＋c2＋…＋cnnB．dn＝c1·c2·…·cnnC．dn＝12nnnnncccD．dn＝nc1·c2·…·cn(2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM·kAB＝－b2a2.那么对于双曲线则有如下命题：AB是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM·kAB＝________.答案(1)D(2)b2a2解析(1)由{an}为等差数列，设公差为d，则bn＝a1＋a2＋…＋ann＝a1＋n－12d，又正项数列{cn}为等比数列，设公比为q，则dn＝nc1·c2·…·cn＝221nnnncq＝c112nq，故选D.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则有x0＝x1＋x22，y0＝y1＋y22.将A，B代入双曲线x2a2－y2b2＝1中得x21a2－y21b2＝1，x22a2－y22b2＝1，两式相减，得x21－x22a2＝y21－y22b2，即x1－x2x1＋x2a2＝y1－y2y1＋y2b2，即y1－y2y1＋y2x1－x2x1＋x2＝b2a2，即kOM·kAB＝b2a2.热点三直接证明和间接证明例3已知数列{an}满足：a1＝12，31＋an＋11－an＝21＋an1－an＋1，anan＋10(n≥1)；数列{bn}满足：bn＝a2n＋1－a2n(n≥1)．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)证明：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．思维启迪(1)利用已知递推式中的特点构造数列{1－a2n}；(2)否定性结论的证明可用反证法．(1)解已知31＋an＋11－an＝21＋an1－an＋1化为1－a2n＋11－a2n＝23，而1－a21＝34，所以数列{1－a2n}是首项为34，公比为23的等比数列，则1－a2n＝34×23n－1，则a2n＝1－34×23n－1，由anan＋10，知数列{an}的项正负相间出现，因此an＝(－1)n＋11－34×23n－1，bn＝a2n＋1－a2n＝－34×23n＋34×23n－1＝14×23n－1.(2)证明假设存在某三项成等差数列，不妨设为bm、bn、bp，其中m、n、p是互不相等的正整数，可设mnp，而bn＝14×23n－1随n的增大而减小，那么只能有2bn＝bm＋bp，可得2×14×23n－1＝14×23m－1＋14×23p－1，则2×23n－m＝1＋23p－m.(*)当n－m≥2时，2×23n－m≤2×232＝89，(*)式不可能成立，则只能有n－m＝1，此时等式为43＝1＋23p－m，即13＝23p－m，那么p－m＝log2313，左边为正整数，右边为无理数，不可能相等．所以假设不成立，那么数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．思维升华(1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可．(2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和综合法交替使用．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；(2)设bn＝Snn(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(1)解由已知得a1＝2＋1，3a1＋3d＝9＋32，所以d＝2，故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)，n∈N*.(2)证明由(1)得bn＝Snn＝n＋2.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p≠q≠r)成等比数列，则b2q＝bpbr.即(q＋2)2＝(p＋2)(r＋2)．∴(q2－pr)＋(2q－p－r)2＝0.∵p，q，r∈N*，∴q2－pr＝0，2q－p－r＝0，∵(p＋r2)2＝pr，(p－r)2＝0，∴p＝r与p≠r矛盾．所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．热点四数学归纳法例4已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足S2n－1＝12a2n，n∈N*，数列{bn}满足bn＝2n－1，n为奇数，12an－1，n为偶数，Tn为数列{bn}的前n项和．(1)求an，bn；(2)试比较T2n与2n2＋n3的大小．思维启迪(1)利用{an}的前n项确定通项公式(公差、首项)，{bn}的通项公式可分段给出；(2)先求Tn，归纳猜想Tn与2n2＋n3的关系，再用数学归纳法证明．解(1)设{an}首项为a1，公差为d，在S2n－1＝12a2n中，令n＝1,2得a21＝2S1，a22＝2S3，即a21＝2a1，a1＋d2＝23a1＋3d，解得