复数知识点总结

1/3复数知识点小结1、复数的概念复数(,)zabiabRReImazbz——实部————虚部——，其中21i，i叫做虚数单位.2、复数的分类(0)(,)(0)(0bzabiabRba实数复数虚数特别地，时为纯虚数)3、两个复数相等定义：如果两个复数),(1Rbabiaz和),(2Rdcdicz的实部与虚部分别相等，即dbca且，那么这两个复数相等，记作dicbia.只有当两个复数都是实数时，才能比较大小；当两个复数不都是实数时，只有相等与不相等两种关系，不能比较大小.4、复平面——建立了直角坐标系来表示复数的平面。复平面中，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，原点表示实数0。5、复数的向量表示OZZ向量复平面上点复数),(babiaz6、复数的模复数模（绝对值）的定义，几何意义：复数z=a+bi（a,b∈R）所对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离。|z|=|a+bi|=022ba.[说明]2||0||zzaa为实数时，，所以实数绝对值是复数模的特殊情形。当且仅当a=b=0时，|z|=07、复数的四则运算性质：Rdcba,,,1）、加法：idbcadicbia)()()()(2）、减法：idbcadicbia)()()()(3）、乘法：ibcadbdacdicbia)()())((2/34）、除法：idcadbcdcbdacdicbia2222（目的：分母实数化）[要点说明]①计算结果一律写成),(Rbabia的代数形式；②复数的加法满足交换律、结合律；③复数乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律；交换律：1221zzzz结合律：)()(321321zzzzzz分配律：3121321)(zzzzzzz④实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即nnnmnnmnmnmzzzzzzzzzNnmCzzz2121*321)(,)(,,,,,时：8、i的整数指数幂的周期性特征：414243441,1,,1kkkkkiiiiii若为非负实数，则（）；0244342414kkkkiiii）（9、||21zz的几何意义：设12,(,,,)zabizcdiabcdR则2221)()(|)()(||)()(|||dbcaidbcadicbiazz几何意义：对应复平面上点12(,),(,)ZabZcd两点间距离22)()(dbcad10、共轭复数1）定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫做互为共轭复数，记为biaz问题：当Rz时，是否有共轭复数？两者关系如何？zzRz2）运算性质：结论可推广到n个2121)1(zzzz2121)2(zzzz)0()()()3(22121zzzzz3）模的运算性质：①121212||||||||||zzzzzz；3/3②1212zzzz，可推广至有限多个，特别地nnzz③2121zzzz④22zzzz，特别地，当1z时，1zz即1zz.11、复数的平方根：在复数集C内，如果),,,(,Rdcbadicbia满足：dicbia2)(，则称bia是dic的一个平方根.从运算结果可以看出，一个非零复数的平方根有两个，且互为相反数.12、复数的立方根设i2321，则：322331322(1)1;(2)10;(3);(4)1,{}3.nnnnT即是的等比数列13、实系数一元二次方程根的情况1）20(0)axbxca实系数一元二次方程在复数集内根的情况：①0,当时有两个不相等的实根；②0当时，有两个相等的实根；③0当时，有两个共轭虚根.2）0当时，2212112122Re,||||bcxxxxxxxaa3）21212120||()4=xxxxxxa当时，；120||||22||bibixxaaa当时，12||||||xxa综上：