2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题+参考答案及评分标准

12018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题考试时间2018年3月18日9∶00－11∶00满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若关于x的方程244310xmxm有两个相等的实数根，则32442mmm的值为（）A．3B．2C．1D．12．如图，ABCD、DEFG都是正方形，边长分别为m、n（mn）。坐标原点O为AD的中点，A、D、E在y轴上。若二次函数2yax的图像过C、F两点，则nm（）A．31B．21C．231D．2213．如图，G为ABC△的重心，点D在CB延长线上，且12BDBC，过D、G的直线交AC于点E，则AEAC（）A．25B．35C．37D．474．如图，H、O分别为ABC△的垂心、外心，45BAC，若ABC△外接圆的半径为2，则AH（）A．23B．22C．4D．315．满足方程22419151xxyy的整数对()xy，有（）A．0对B．2对C．4对D．6对HOBCA（第4题图）（第2题图）EGBCAD（第3题图）2二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．已知a，b，c为正整数，且abc。若bc，ac，ab是三个连续正整数的平方，则222abc的最小值为。7．如图，ABCD为矩形，E为对角线AC的中点，A、B在x轴上。若函数4yx（0x）的图像过D、E两点，则矩形ABCD的面积为。8．如图，ABC△是边长为8的正三角形，D为AB边上一点，1O⊙为ACD△的内切圆，2O⊙为CDB△的边DB上的旁切圆。若1O⊙、2O⊙的半径都是r，则r。9．若实数x满足232018xxx，则4x。其中x表示不超过x的最大整数。10．网络爬虫是一种互联网网页抓取工具。其算法与数学的一个重要分支图论有着密切的联系。图论可以追溯到大数学家欧拉提出的“哥尼斯堡七桥问题”。图论中讨论的图是由一些节点和连接这些节点的线组成的。请你回答下列问题：把一个矩形区域划分成n个凸多边形区域（这些凸多边形区域除公共边外，没有公共部分）。已知构成这n个凸多边形的顶点中，恰有6个顶点在矩形内，12个顶点在矩形的边界上（含矩形的顶点）；同时，任何三个顶点不共线（除矩形边界上的顶点共线外）。若围成这n个凸多边形的线段中，恰有18条线段在矩形区域内，则这n个凸多边形中四边形个数的最大值为。ABO1O2CD（第7题图）（第8题图）3三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）11．已知二次函数224yxbxc的图像交x轴于1(0)Ax，、2(0)Bx，两点，且2112265xxxx。若函数224yxbxc在13bxb上的最小值为6，求b，c的值。12．如图，在圆内接四边形ABCD中，ABAD，M是BC边的中点，点N在对角线BD上，且满足BANCAM。求证：MNAC∥。NMBCAD（第12题图）413．已知关于x的方程299990xkxk的两根都是素数，求k的值。14．一个由36个单位小方格组成的66的方格表中的n个小方格被染成了红色，使得任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2，求n的最大值。52018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准考试时间2018年3月18日9∶00－11∶00满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若关于x的方程244310xmxm有两个相等的实数根，则32442mmm的值为（）A．3B．2C．1D．1【答案】A【解答】依题意，21616(31)0mm△。因此，2310mm。∴231mm，231mm。∴3222442(31)44232123mmmmmmmmm。2．如图，ABCD、DEFG都是正方形，边长分别为m、n（mn）。坐标原点O为AD的中点，A、D、E在y轴上。若二次函数2yax的图像过C、F两点，则nm（）A．31B．21C．231D．221【答案】B【解答】依题意，点C坐标为()2mm，，点F的坐标为()2mnn，。由二次函数2yax的图像过C、F两点，得222()2mammnan，消去a，得2220nmnm。∴2()210nnmm，解得21nm（舍负根）。∴21nm。（第2题图）63．如图，G为ABC△的重心，点D在CB延长线上，且12BDBC，过D、G的直线交AC于点E，则AEAC（）A．25B．35C．37D．47【答案】D【解答】如图，连AG，并延长交BC于点F。∵G为ABC△的重心，且12BDBC，∴F为BC中点，且21AGGF，DBBFFC。过点F作FMDE∥，交AC于点M。则13CMCFCECD，21AEAGEMGF。设CMk，则3CEk，2EMk，4AEk。∴7ACk，4477AEkACk。另解：如图，连AG，并延长交BC于点F。∵G为ABC△的重心，且12BDBC，∴F为BC中点，且21AGGF，DBBFFC。∴23FDDC，21AGGF。在AFC△中，利用梅涅劳斯定理，得1FDCEAGDCEAGF。∴22131CEEA，34CEEA。∴47AEAC。（第3题图）MEGFBCADEGBCADEGFBCAD（第3题答题图）（第3题答题图）74．如图，H、O分别为ABC△的垂心、外心，45BAC，若ABC△外接圆的半径为2，则AH（）A．23B．22C．4D．31【答案】B【解答】如图，连结BO并延长交O⊙于点D，连HC、CD、DA。∵O为ABC△的外心，∴BD为O⊙直径，DCBC，DAAB。又H为ABC△的垂心，∴AHBC，CHAB。∴AHDC∥，CHDA∥。∴四边形AHCD为平行四边形，AHDC。∵45BAC，ABC△外接圆的半径为2，∴45BDCBAC，4BD。∴22AHDC。5．满足方程22419151xxyy的整数对()xy，有（）A．0对B．2对C．4对D．6对【答案】C【解答】方程22419151xxyy化为22(2)15115xyy。依题意，215115Ay为完全平方数。由2151150Ay，得215115y。结合y为整数，得210y。故，20y，1，4，9。当20y时，215115151Ay，不是完全平方数。当21y时，215115136Ay，不是完全平方数。当24y时，21511591Ay，不是完全平方数。当29y时，2215115164Ay。∴方程化为229(2)16yxy，即23(6)16yx，或23(6)16yx∴364yx，或364yx，或364yx，或364yx。∴103xy，或23xy，或23xy，或103xy。∴满足方程的整数对有(103)，、(23)，、(23)，、(103)，，共4对。（第4题答题图）（第4题图）HOBCADHOBCA8二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．已知a，b，c为正整数，且abc。若bc，ac，ab是三个连续正整数的平方，则222abc的最小值为。【答案】1297【解答】依题意，设2(1)bcn，则2acn，2(1)abn，n为正整数，且1n。∴22222()(1)(1)32abcnnnn，可见n为偶数，且2322nabc。∴242nna，222nb，242nnc。可见，6n，且当n增大时，222abc的值也随之增大。又6n时，30a，19b，6c符合要求。∴222abc的最小值为222301961297。7．如图，ABCD为矩形，E为对角线AC的中点，A、B在x轴上。若函数4yx（0x）的图像过D、E两点，则矩形ABCD的面积为。【答案】8【解答】设()DDDxy，，()EEExy，，则4DDEExyxy。作EFAB于F，由E为AC中点，得F为AB中点，且1122EFBCAD。∴2DEyy。结合2EEDDDExyxyxy，得2EDxx。∴OAAF，222DABAFOAx。∴矩形ABCD的面积28DDSABADxy。（第7题图）（第7题答题图）98．如图，ABC△是边长为8的正三角形，D为AB边上一点，1O⊙为ACD△的内切圆，2O⊙为CDB△的边DB上的旁切圆。若1O⊙、2O⊙的半径都是r，则r。【答案】3【解答】如图，设1O⊙切ACD△的三边AC、CD、DA依次于点G、H、E，边DB切2O⊙于点F，CD、CB的延长线切2O⊙于点M、N。则由1O⊙、2O⊙的半径都是r，ABC△为正三角形，以及切线长性质定理，得3AGAEr，83CHCGr，33BFBNr，383CMCNr。∴343(8)(83)33EFHMCMCHrrr∴433833333ABAEEFFBrrrr。∴8383r，3r。9．若实数x满足232018xxx，则4x。其中x表示不超过x的最大整数。【答案】1346【解答】设xam，其中a为整数，01m。则232()3()623xxxamamamamm。∵当103m时，23000mm；当1132m时，23011mm；当1223m时，23112mm；当213m时，23123mm。∴对任意实数x，23xxx的值具有形式：6k，61k，62k，63k，k为整数。∵201863362，232018xxx。∴336xm，其中1223m。∴44(336)43364134421346xmm。ABO1O2CD（第8题答题图）（第8题图）FABO1O2CDEHGMN1010．网络爬虫是一种互联网网页抓取工具。其算法与数学的一个重要分支图论有着密切的联系。图论可以追溯到大数学家欧拉提出的“哥尼斯堡七桥问题”。图论中讨论的图是由一些节点和连接这些节点的线组成的。请你回答下列问题：把一个矩形区域划分成n个凸多边形区域（这些凸多边形区域除公共边外，没有公共部分）。已知构成这n个凸多边形的顶点中，恰有6个顶点在矩形内，12个顶点在矩形的边界上（含矩形的顶点）；同时，任何三个顶点不共线（除矩形边界上的顶点共线外）。若围成这n个凸多边形的线段中，恰有18条线段在矩形区域内，则这n个凸多边形中四边形个数的最大值为。【答案】9【解答】设这n个凸多边形中，有3k个三角形，4k个四边形，5k个五边形，…，mk个m边形。则这n个凸多边形的内角和为345(32)180(42)180(52)180(2)180mkkkkmL。另一方面，矩形内部有6个顶点，对于每个顶点，围绕它的多边形的内角和为360。矩形边界线段内（不含矩形顶点）有8个顶点，在每个顶点处，各多边形在此汇合成一个平角，其和为180。在矩形的每个顶点处，各多边形在此汇合成一个直角，其和为90。因此，这n个凸多边形的内角和为63608180490。∴345(3