可测函数的收敛性

第二节可测函数的收敛性第四章可测函数⒈函数列的几种收敛定义|)()(|,,0,0,xfxfNnNExnxx有⑵一致收敛:|)()(|,,,0,0xfxfExNnNn有注：近似地说一致收敛是函数列收敛慢的程度能有个控制近似地说一致连续是函数图象陡的程度能有个控制0.20.40.60.810.20.40.60.81fn(x)=xnEffn于⑴点点收敛:记作1-δ0.20.40.60.810.20.40.60.81例：函数列fn(x)=xn,n=1,2,…在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛，但去掉一小测度集合(1-δ,1),在留下的集合上一致收敛fn(x)=xn⑶几乎处处收敛:记作(almosteverywhere）Eeaffn于..feEEfmeEen上一致收敛于在使得可测子集,,,0|)()(|,,,0,0,,,0xfxfeExNnNmeEen有可测子集即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛Euaffn于..⑷几乎一致收敛:记作(almostuniformly)0][ffnE⑸依测度收敛:记作注：从定义可看出，几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛（除一零测度集外）依测度收敛并不指出函数列在哪个点上的收敛，其要点在于误差超过σ的点所成的集的测度应随n趋于无穷而趋于零，而不论点集的位置状态如何Effn于0lim,0]|[|ffnnmE有[||]0,0,0,,nffNnNE有m不依测度收敛[||]0,0,0,,nffNnNE有m0lim,0]|[|ffnnmE有依测度收敛0,0]|[|不收敛于使得ffnmE[||]0,0,0,,nffNnNE使得m⒉几种收敛的区别说明：当n越大，取1的点越多，故{fn(x)}在R+上处处收敛于1)(limlim,10]|[|，有对nmmEnffnn（1）处处收敛但不依测度收敛n,2,1{)(],0(1),(0nxfnxnxn在R+上处处收敛于f(x)=1,所以{fn(x)}在R+上不依测度收敛于1，另外{fn}不几乎一致收敛于1fn不几乎一致收敛于ffeEEfmeEen上一致收敛于在使得可测子集,,,0|)()(|,,,0,0,,,0xfxfeExNnNmeEen有可测子集几乎一致收敛:记作(almostuniformly)Euaffn于..即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛|)()(|,,,0,0,,,0xfxfeExNnNmeEen使可测子集即：去掉测度集，在留下的集合上仍不一致收敛任意（）适当小小fn不几乎一致收敛于f|)()(|,,,0,0,,,0xfxfeExNnNmeEen使可测子集即：去掉任意小（适当小）测度集，在留下的集合上仍不一致收敛|)()(|),1,()(,,0,0,,,02121xfxfnneExNNnNmeEen使可测子集],0(1),(0{)(nxnxnxf不几乎一致收敛于f(x)=1n（2）依测度收敛但处处不收敛01f1f601/4½3/4101/4½3/4101/4½3/4101/4½3/41f7f5f40½1f30½1f201/81/4½1f8依测度收敛但处处不收敛0lim],(limlim,1021212]|[|kkknkiikffnmmE有,0)(),()()(]21,2(2xfxxfxfkkkiiin令⑵取E=(0,1],n=2k+i,0≤i2k,k=0,1,2,3,…Effn于则说明：对任何x∈(0,1],{fn(x)}有两个子列，一个恒为1，一个恒为0，所以{fn(x)}在(0,1]上处处不收敛；例：函数列fn(x)=xn在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛，但去掉一小测度集合(1-δ,1),在留下的集合上一致收敛收敛的联系（叶果洛夫定理的引入）1-δ0.20.40.60.810.20.40.60.81fn(x)=xn⒊三种收敛的联系即：于Euaffn..即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛Euaffn于，则..Eeaffn于若..⑴几乎处处收敛与几乎一致收敛（叶果洛夫定理）设mE+∞，fn，f在E上几乎处处有限且可测，（即：可测函数列的收敛“基本上”是一致收敛）即：于Eeaffn..0][ffnmE即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛knknnxfxfNnNxfxf11|)()(|,,1,1:)()(lim有},:{AxxA有},:{AxxA使11()():1,1,,|()()|nnkkfxfxNnNfxfx不收敛使111{:()()}{:|()()|}nnkkNnNxfxfxxfxfx不收敛于111}|)()(:|{)}()(lim:{kNNnknnnxfxfxxfxfx引理：设mE+∞，fn，f在E上几乎处处有限且可测，[||]..0,lim()0nnffNnNffaeEmE若于，则有0)()lim()(lim,0]|[|1]|[|]|[|ffNnNffNnNffNnNnnnEmEmEmmE）（有时，从而当)(0)()(0)(]|[|11]|[|11ffNnNkffNnNnknEmEm)(]|[|1]|[|*nfnfEEE证明：由于为零测度集，故不妨令fn，f在E上处处有限，从而有：0)(0..]|[|11][1knnffNnNkffnEmmEEeaff于关于N单调减小几乎处处收敛与依测度收敛（Lebesgue定理）EffEmEmnffNnNffNnN于所以从而0)(lim)(lim]|[|]|[|0)(lim,0]|[|ffNnNnEm有证明：由引理知，Eeaffn于若..Effn于，则设mE+∞，fn，f在E上几乎处处有限且可测，