第59组 关于交通道路安全岛数学模型的研究

I2013浙江财经大学数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了浙江财经大学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权浙江财经大学大学生竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是：关于交通道路安全岛数学模型的研究我们的参赛报名号为：第59组所属学校（请填写完整的全名）：浙江财经大学参赛队员(打印并签名)：1.10金融3班华嘉翔1001051003092.10金融4班徐佳萍1001072002473.10金融3班章哲农100105100330指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：数模组日期：2013年5月11日1关于交通道路安全岛数学模型的研究10金融3班华嘉翔10010510030910金融4班徐佳萍10010720024710金融3班章哲农100105100330摘要：“行人二次过街”是一种以提高安全性、便利性等为目的的行人过街设施。区别于一般的过街方式，该方式在道路的中间设置安全岛，使得那些无法一次通过较长人行道的行人可以在安全岛上暂作休息，给交通弱者带来很大的方便。但是这种过街方式也存在一些缺陷，比如二次的等待延长了行人的等待时间，而且因为每次过街的长度变短，也会导致行人乱闯马路。为了评价安全岛给道路交通情况带来的具体影响，我们小组观测了样本道路车流和人流的分布情况，并建立假设模型、验证。在此基础上，我们确定了样本道路的一些参数，并通过这些参数，分别计算了在设计安全岛和不设置安全岛情况下交通信号灯周期的变化情况，以及机动车和行人平均等待时间的理论值。对这些理论值进行分析，得出初步的结论。我们还利用了Matlab软件，建立了拟合函数，进行真实汽车和行人到达的情况的模拟，并将得到的结果与理论值比较，对结论进行修正和补充。本文观测的样本道路为直行道路，为了将结论推广到十字路口或者更加复杂的道路口，我们还利用了synchro软件，对之前研究分析所得的数据进行了实时的模拟，并用模拟所得的报告对结论进行进一步的完善和拓展。关键词：二次过街；安全岛；泊松分布；交通仿真2一．问题背景随着时代的发展，越来越多的人开始使用机动车替代旧时的交通工具出行。机动车为人们的通行提供给了很大的便利，但是，伴随着快速增长的机动车数量，“车多路少”的尴尬局面也开始出现。凡是市区繁华的路段，频繁的道路交通拥堵现象已经成为了常态。当然，除了庞大的机动车流量，机动车与行人之间冲突也是造成交通堵塞的原因之一。而为了减少道路的负荷，道路被修得越来越宽，但是这同时也增加行人横穿马路的时间，让其很难在绿灯的时间内安全走到街道的对面，这对于行人来说，这无疑是一件又恼人又不安全的事。为了解决这一问题，一些市区采取了“行人二次过马路”的措施。在中心繁华路段，开始陆续设置了隔离带等候区（即安全岛）。当行人走到安全岛而眼前的绿灯转红时，他们就可以考虑在安全岛上等候下一个绿灯的到来。这种措施从安全性的角度上讲确实有一定的作用，因为它使得行人暴露在车流中的机会大大减少，避免了车与人的冲突。但是其也可能对交通情况造成负面影响，须知两次等待换来的除了安全，还有更长的等待时间。如此有利有弊，安全岛对于交通情况的影响期望也成为了一个未知数。因此，我们小组本次调查的问题便是：通过数学建模对安全岛问题进行定量的分析，比较安全岛存在与否对交通带来的实际效用，并分析它存在的合理性与积极意义。二．问题的提出和重述城市交通隔离带等候区发展已有一段时间，然而公众对于设置安全岛只具有模糊的意义，并且，设计安全岛本身就有利弊，设立“安全岛”的目的是为了让人们养成“二次过街”的习惯，即在第一次绿灯时间，先到达道路中央的“行人安全岛”，第二次绿灯亮起再走剩下的路程，以大幅度减少行人的清场时间（行人方向已经红灯，但是部分行人还在人行道上行走的时间），以提高行人的安全，同时增加车辆的通行效率。但是，设置安全岛也有缺陷，比如二次过街会使得行人等待时间增加等。为了考证设置安全岛的综合利弊情况，我们打算使用以下方法分析1)首先观测并统计某直行路段行人和车辆的来往情况，确定并建立其分布模型。2)确定上述路段的外部环境，包括红绿灯时间，人行道宽度，车道数，路面宽度，中间隔离带（绿化带）宽度等3)根据上述确定的参数，分别计算在设置安全岛和不设置安全岛的情况下，通过优化红绿灯时间所得出的汽车和行人平均过马路时间的理论值。将上述理论值赋以一定的权重后，比较前后两者的优劣。4)用matlab编制程序，建立符合上述参数的数学模型，产生符合要求的随机变量来模拟真实汽车和行人到达的情况，统计其平均过马路时间，和理论值比较，验证观测的数据以及理论值。5)用Synchro软件，将直行路推广为十字道路，并模拟其实时交通状况。三.问题的分析3此次研究我们将通过定性定量两方面着手研究设置安全岛所带来的利弊。1)针对问题2.1：考虑到十字路口的较为复杂，我们先选择简单的直行路段建立模型，之后用Synchro软件进行推广。其次，实地考察并计算统计单位时间内每辆车子遇红灯等待时间、每位行人遇红灯等待时间，并以此进行累加求、平均的计算工程量太过庞大，超出了我们勘察能力范围，因此，我们先估算出行人车辆的分布情况，再进行计算。2)针对问题2.2：因为许多数据在研究过程中需要通过实地勘测得出，为了使得观察的数据具有代表性，怎么选取勘测地点是我们需要考虑的问题。在考察实地时我们不只需要考虑马路交通哪些方面，由于资源有限，还需要使得考察的地点在我们可控范围之内。3)针对问题2.3：究竟该以什么标准来衡量隔离带等候区所带来的优点呢？设置隔离带的优点需要通过比较才能得出，因此我们需要考虑比较的项目。从定量的角度，我们可以通过比较等待时间来确定安全岛带来的效率，从定性的角度，我们可以比较此举对交通事故发生率，环境保护贡献度（主要是尾气排放，耗油量）等。四．基本假设1)在特定的一段时间内，特定的一段路程中，车辆和行人到达路口的时间均符合某种分布；且认为车子间独立同分布，人独立同分布。2)车辆和行人严格遵守交通规则，不会出现闯红灯现象。3)汽车行驶的速度是固定的，反应时间和启动时间是3秒。未等待过的车辆不需要反应时间和启动时间。4)行人的速度步行都是一样的，反应时间和启动时间是3.2秒。未等待过的行人不需要反应时间和启动时间。5)忽略交通灯的黄灯时间。6)不考虑自行车公交车以及其他大型车。7)以平峰期的交通路段为研究对象，不考虑堵车，并且车辆到达的速率低于车辆过马路的速率，即一辆车子需要经历2次红灯才能过马路的事件属于小概率事件，不予考虑。五.模型建立1.证明车流(人流量)规律符合泊松分布车辆(行人)进入某一路口是个随机性事件，也即进入某一路口的车辆(行人)之间的间隔时间是个随机量。根据车辆(行人)进入某一路口本身的特点，从理论上应满足下列条件：1)平稳性：在某一时间间隔内到达的车辆数(行人数)概率只与这段时间的长度和车辆数(行人数)有关；2)无后效性：不相交的时间区间内到达的车辆(行人)是相互独立的；3)普通性：在同时间点上最多到达1辆车(1个行人)，不存在同时到达2辆车(2个行人)的情况；4)有限性：在有限的时间区间内只能到达有限辆车子(有限个行人)，不可4能有无限个车辆(行人)到达。为了进一步了解车辆(行人)进入某一区域的规律，我们对下沙某一路段(见示意图1)的情况进行了观察和统计。图1直行车道示意图通过分析所得的数据，我们发现，虽然每个交通时段的车流量(行人流量)都不相同（如交通高峰时显著高于低峰），但是在同一时段内，车流(行人)达到的情况接近于均匀的波峰分布，并无突起的波峰。数据见表1:对于车辆每15秒车辆观察频数(次)观察频率λ=9.2562000.00000.0001100.00000.0009210.00830.0041310.00830.0126430.02480.0292560.04960.0541690.07440.08347130.10740.11038140.11570.12779180.14880.131310160.13220.121511140.11570.102312100.08260.07891370.05790.05621460.04960.0371大于1430.02480.0504合计1211.00001.00005表1观测到的车辆分布情况对于行人每15秒行人数观察频数(次)观察频率λ=6.5217000.00000.0015110.01450.0096230.04350.0313340.05800.0680470.10140.1109590.13040.14466110.15940.15727100.14490.1465880.11590.1194970.10140.08651050.07250.05641130.04350.0335大于1110.01450.0346合计6911表2观测到的行人分布情况但我们观测的流量数据是随机样本，因此我们无法掌握流量总体的概率分布情况。于是我们对流量总体的分布情况提出了假设，并对其进行验证。理论证明：事实上，假定一段时间[0，T)内车的数量为N，由于假设车子到达时间独立同分布，假设在此时间段内到达的概率为p，那么显然对于第i辆车子1,PpXi在此时间段是否到达路口可以用Xi表示，那么0,P1p，则在此时间段XXi内的到达的车辆数目X表示为：n。所以X满足二项分布，X~B（N，P）。当N时，若NP+∞时，可以令λ=N*P，则X满足参数为λ的泊松分布。在之前的分析中，我们发现车辆(行人)进入某一路口的规律符合随机分布，因此我们选用泊松分布来成为交通流分布情况的假设模型。则有公式：𝐧P(n)=(λ)𝐧!𝐞−λ，n0其中P（n）表示在[0，T)内到达路口的车辆为n的概率，n为一个周期通过路口的车辆（行人）数；λ为一个周期通过路口的车辆（行人）的平均数。计算后发现应该接受假设，即车辆的进入规律属于泊松分布。同理，可以得到行人到达路口的时间也符合均值为泊松分布的。2.确定该路段的外部环境从4.1中已经知道行人和车辆到达是符合泊松分布的，我们通过翻阅相关的数据，以及《道路通行能力手册》(HCM2000)，来推测我们研究路段的情况6根据《道路通行能力手册》和我们4.1的计算值，确定一般市区8车道路段数据如下：每个车道宽3.75米中间隔离带宽2米人流量1565人/小时车流量2221辆/小时人行横道宽度为6米行人启动时间3.2秒行人速度为1.3米/秒车辆启动时间3秒车辆速度45千米/小时假定不设置安全岛汽车绿灯为57秒汽车清场时间（全部红灯）为3秒行人所需最小有效绿灯时间=启动时间+路宽/行人速度+0.81*一个周期到达的人数/人行道宽度=3.2+32/1.3+0.81*52.17/6≈35秒行人清场时间（全部红灯）32/1.3≈25秒一个周期为120秒每周期的人数=1565/3600*120=52.17人每周期的车辆数=2221/3600*120=74.03辆按照HCM2000计算公式，汽车绿灯时间为57秒，在一个周期里，其余63秒内到达的车子均需要等待，按照分布，63秒平均出现38.87辆车λ=38.87行人绿灯时间为35秒，在一个周期里，其余85秒内到达的行人均需要等待，按照分布，85秒平均出现36.95个人λ=36.95假如设置安全岛汽车的绿信比不变，记汽车绿灯时间为x,行人绿灯时间为y解方程{解得x=34秒y=23秒汽车绿灯时间为34秒行人绿灯时间为23秒汽车清场时