薄板弯曲的变分原理及有限元素法

第三章薄板弯曲的变分原理及有限元素法3.1基本问题基本认识：板作为承力的结构元件，主要通过弯曲起作用。如果垂直于板面的挠度与板的厚度相比很小的话1Hw，则由弯曲而引起的板中面的拉伸作用就可以忽略不及，这是所谓的小挠度问题，一般认为4.0Hw以下。反之，Hw越大，弯曲引起的中面拉伸的影响越来越大，就不能忽略不计，导致所谓大挠度问题。除板的弯曲变形之外，还伴随有剪切变形，剪切作用的影响一方面取决于材料的剪切模量，另一方面取决于厚度/跨度（lH）之比，即横向剪切随lH的增大而增大。通常把不考虑剪切作用（横向剪应变无穷大）的板理论叫做薄板理论，把考虑剪切作用的板理论叫做厚板理论。本章仅考虑小挠度薄板问题。基本假设：取板的中面为xy平面，取z轴与yx,轴垂直，设板的厚度为h，可以是yx,的函数。①变形假设：变形前垂直于中面的直线段在变形后没有伸缩，并且继续垂直变形后的中面。由此得：yxwzyxwywzzyxvxwzzyxu,,,,,,,②内力假设：板内应力的6个分量的大小不是同一量级，一般xyyx,,最大，yzxz,约小一个量级，而z又小一个量级；在静力学分析中，0z。控制方程（内力平衡方程及物理方程）①由弹性力学方法，对于均质材料构成的薄板，应力分量yzxzxyyx,,,,可用5个内力yxQyxQyxMyxMyxMyxxyyx,,,,,,,,,表示，即：xxzMh312yyzMh312xyxyzMh312（矩定义为单位宽度上的矩）xxzQhzh224123yyzQhzh22412322hhxxzdzM22hhyyzdzM22hhxyxyzdzMdzQhhxzx22dzQhhyzy22Note：上述的弯距及剪力代表单位宽度上的，而不是整个板侧面的。②用内力表示的平衡方程：xxyxQyMxMyyxyQyMxM0pyQxQyxyxpp,分布的横向载荷在薄板理论中，内力yxQQ,不产生应变，因而也不做功，可在以后的分析中不计算它们，在上式中消去yxQQ,即得：0222222pyMyxMxMyxyx③几何关系：22xwkx22ywkyyxwkxy22xxzkxwz22yyzkywz22xyxyzkyxwz22④物理关系：（各向同性体）点应力应变关系：xyyxxyyxvvvvE2100010112内力与应变关系：22222221ywvxwDzdzvvEMhhyxx22222221ywvxwDzdzvvEMhhxyyyxwDvzdzGMhhxyxy2221注意：vEG1223112vEhDxyyxxyyxkkkvvvDMMM1000101⑤单位面积上的应变能及余应变能（密度）应变能密度（曲率作为自变量）变分：xyxyyyxxkMkMkMU2xwxkx(单位长度上转角的变化)∴xxkUMyykUMxyxykUM21（这也是一种物理关系）代入关于内力矩的物理关系，有：yxxyyxkkkvkkDU22122注意：上式中都是关于曲率的二次项，而且从物理上对于任意的曲率U0，故U称为正定的二次齐次函数。余应变能密度：（可看作是内力矩的函数）UkMkMkMVxyxyyyxx2当板的变形由一种状态变到相邻的另一种状态时，V的变分为：xyxyyyxxxyxyyyxxxyxyyyxxMkMkMkUkMkMkMMkMkMkV222在以前的研究中，我们把内力表示成变形的函数，从而构造和研究关于变形的泛函；在这里，我们把体系中的两类量都看成独立可变的，故有上式V，（上式中由于V的表达式，变分的结果又可只认为只有内力矩变化）。这是一种认识观点，对于后面理解广义变分原理有利的。当然，还应当注意这两类变量之间存在着物理关系的约束。由V的表达式可知：xxMVkyyMVkxyxyMVk2（研究其中一项时，让其它两项的变分为0）代入内力矩关系，可知V是xyyxMMM,,的正定二次齐次函数。⑥用挠度表示的平衡关系：把内力矩的物理关系及曲率的几何关系代入原平衡方程，即得：pwDpywyxwxwD444224442（双调和方程）坐标旋转引起的变换在研究板问题时，经常用到不同坐标系表示的包括法向导数等，因此在不同坐标系下，板弯曲的基本量之间有什么联系是我们经常要遇到的计算。取两个不同的坐标系，如右图yxxyyxQQMMMyxwywxwywxwwxoy,,,,,,,,,:22222QQMMM:22222①坐标变换关系：cossinsincossincosyxxyxycossinsincoscossin②函数的方向导数：对于一个函数,,,,yxFyxF由求导的链式规则：sincosyFxFyyFxxFFcossinyFxFyyFxxFFsinsincoscossincos2yyFyxyFxyxFyxFxyFxFF222222222sincossin2cosyFyxFxFF同理：222222222cossincos2sinyFyxFxFFsincossincossincos22222222yFyxFxFF③只要将F换成w即得曲率在不同坐标系下的转轴公式。④弯、扭矩的转轴规律应注意到yxyxMMM,,是单位宽度上的矩，推导时要依据平衡关系。由此得：22sinsincos2cosyxyxMMMM22cossincos2sinyxyxMMMMsincossincossincos22yxyxMMMM剪力的转轴规律符合矢量投影规律，即：sincosyxQQQcossinyxQQQ典型的边界条件（如右图）：板在xy平面上所占区域；c：板的边界；n：边界外法线；s：边界切线方向；sn,符合右手定则典型边界条件有三种：①固支边：如在1c上，ww，nnw这里，nw,为1c上已知的关于弧长s的函数。②简支边：如在2c的部分边界上简支，则有：nnMMww,nMw,为2c上已知的关于弧长的函数。③自由边：在自由边上(指无位移限制)已知作用在边界上的力（即所谓的自然边界条件）。从内力和内力矩角度看，边界上能反映出来的有nnsnQMM,,三个，但不能取：nnMM，nsnsMM，nnQQ因从做功角度讲，nsM和nQ并不完全独立，分析如下：给自由边界3c上的挠度有一变分w，则nnsQM，在w上所作的功为：的端点3333cnscnnscnnscnnswMwdsQsMdswQswMdswQdsMU可见，nsM相当于sMns线分布载荷以及作用在自由边两端的集中载荷nsM。由于在自由边两端总是有支持的，所以在该两端上的nsM对板变形不产生影响，所以分析时略去不计。∴wdsQsMUcnns3由上分析，nnsQsM是与w相应的广义力，故自由边的边界条件应为：在3c上，nnMM，nnnsqQsM（与点应力的力边界条件相似）sqn是已知作用在3c上的线布载荷。若在自由边界的某一点0ss上有一集中载荷p，那么有：psMsMnsns0000p表示单位宽度上的力。若没有集中载荷，nsM应是s的连续函数，nsM的跳跃量相应于集中载荷。﹡自由边界上有尖角的情况：n为A点前面一段终点的法向量；n为A点后面一段起点的法向量。命两个法向量与x轴的夹角为,。在A点前后的两个扭矩：2222sincossincossincossincosxyyxnsxyyxnsMMMMMMMM由于要求nsM连续，即nsnsMM由此得：0sin2cosxyyxMMM当A点尖角的两条边平行于yx,轴，0,90故得：0xyM3.2最小势能原理考虑如图的板受载系统：1c上：nn,2c上：nnMMww,3c上：qQsMMMnnsnn,整个系统的势能包括两部分：①板的应变能Udxdy2U为应变能密度，是曲率的二次函数；②外载荷（包括边界力）的势能：dsnwMwdsqpwdxdycccn332'(一次泛函，固支边界位移变分为0）dsnwMwdsqdxdypwUcccn332令w是问题的精确解，kw是可能的挠度（在1c上满足nn,；在2c上满足ww）最小势能原理指出：与精确解w相应的总势能w达到最小值，即小于任何其它可能位移kw相应的总势能。证明的过程与梁的步骤全同。令：,w满足齐次的边界条件：0,0,0,21wcnwwc上上C1C2C3与kw相应的总势能2'',2可以证明：0,''ww，且若w不是刚体运动，则02w。因此有，wwk将最小势能原理写成变分形式：0(留给同学自己完成)022322222dsnwMMwdsqQsMwdxdypyMyxMxMcnncnnsyxyx（这里是Galerken虚功的形式）平衡方程：0222222pyMyxMxMyxyx3c上qQsMnns2c上nnMM3.3最小余能原理①概说余能原理是一个数学原理，并不对应物理上的保守势场中的能量守恒原理。它的着眼点是固定位移，看可能的力系统变化（这些力系统一定满足平衡关系和力边界条件，这是一种狭义理解方式）。那么从此观点上看，显然只有满足位移协调关系的那一个力系才是精确解。余能原理：在满足平衡关系的所有力系中，只有满足位移协调关系的那组力系，使系统余能取极值。如果这个系统是稳定的，则取最小值。②数学证明：考虑与上小节相同的一块薄板弯曲问题，命yxxyyxQQMMMw,,,,,是问题的精确解；再取sysxsxysysxQQMMM,,,,为一组可能的内力。按要求可能的力系满足：a．平衡条件：000