散度 旋度 梯度

1三度、三定理三度、三定理1.标量场、梯度2.矢量的通量、散度散度散度散度散度散度散度散度、高斯定理3.矢量的环流、旋度旋度旋度旋度旋度旋度旋度旋度、斯托克斯定理4.亥姆霍兹定理————————————————““““““““三度三度三度三度三度三度三度三度””””””””、、、、、、、、““““““““三定理三定理三定理三定理三定理三定理三定理三定理””””””””21.1.标量场、梯度标量场、梯度标量场在空间的分布和变化规律——等值面，方向导数，梯度标量场可以用一个标量函数表示：)(),,(ruzyxuuv==等值面Cruzyxuu===)(),,(v等值面等值面等值面等值面bacd等值面?3如何了解标量场如何了解标量场如何了解标量场如何了解标量场如何了解标量场如何了解标量场如何了解标量场如何了解标量场中某一点的标量中某一点的标量中某一点的标量中某一点的标量中某一点的标量中某一点的标量中某一点的标量中某一点的标量函数函数函数函数函数函数函数函数UU沿某一方沿某一方沿某一方沿某一方沿某一方沿某一方沿某一方沿某一方向的变化情况？向的变化情况？向的变化情况？向的变化情况？向的变化情况？向的变化情况？向的变化情况？向的变化情况？方向导数：方向导数：方向导数：方向导数：方向导数：方向导数：方向导数：方向导数：标量函数在给定点沿标量函数在给定点沿标量函数在给定点沿标量函数在给定点沿标量函数在给定点沿标量函数在给定点沿标量函数在给定点沿标量函数在给定点沿某一方向对距离的变化率某一方向对距离的变化率某一方向对距离的变化率某一方向对距离的变化率某一方向对距离的变化率某一方向对距离的变化率某一方向对距离的变化率某一方向对距离的变化率方向导数方向导数方向导数方向导数方向导数方向导数方向导数方向导数等值面bacdllllUUUU∂∂∂∂∂∂∂∂40coscoscosuuuulxyzGlαβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂=⋅vv方向导数方向导数方向导数方向导数方向导数方向导数方向导数方向导数llllUUUU∂∂∂∂∂∂∂∂llllMMMMuuuuMMMMuuuulllluuuullllMMMM∆∆∆∆−−−−====∂∂∂∂∂∂∂∂→→→→∆∆∆∆))))(((())))((((limlimlimlim000000000000xxxxoooozzzz)))),,,,,,,,((((0000000000000000zzzzyyyyxxxxMMMM)))),,,,,,,,((((000000000000zzzzzzzzyyyyyyyyxxxxxxxxMMMM∆∆∆∆++++∆∆∆∆++++∆∆∆∆++++xxxx∆∆∆∆yyyy∆∆∆∆zzzz∆∆∆∆llll∆∆∆∆))))coscoscoscos,,,,coscoscoscos,,,,(cos(cos(cos(cos::::0000γγγγββββααααllllllllvvzzzzeeeerxxxxeeeeryyyyeeeeryyyymax|uGl∂=∂vxyzuuugraduGeeexyz∂∂∂==++∂∂∂vvvv5标量的标量的““梯度梯度””？？？？““““爬山爬山爬山爬山””””同样的增量情况下，沿什么方向最陡同样的增量情况下，沿什么方向最陡同样的增量情况下，沿什么方向最陡同样的增量情况下，沿什么方向最陡””””？？？？梯度梯度梯度梯度梯度梯度梯度梯度是表示是表示是表示是表示是表示是表示是表示是表示标量标量标量标量标量标量标量标量最大空间增长率最大空间增长率最大空间增长率最大空间增长率最大空间增长率最大空间增长率最大空间增长率最大空间增长率的大小和方向的的大小和方向的的大小和方向的的大小和方向的的大小和方向的的大小和方向的的大小和方向的的大小和方向的矢量矢量矢量矢量矢量矢量矢量矢量。。。。。。。。gradUU=∇GradientGradientGradientGradient————————gradgradgradgrad方向导数中沿那个方向方向导数中沿那个方向方向导数中沿那个方向方向导数中沿那个方向标量函数对距离的标量函数对距离的标量函数对距离的标量函数对距离的变化率最大？变化率最大？变化率最大？变化率最大？等值面bacd∇哈密顿算符：哈密顿算符：哈密顿算符：哈密顿算符：HamiltonianHamiltonianHamiltonianHamiltonianHamiltonianHamiltonianHamiltonianHamiltonianxyzeeexyz∂∂∂∇=++∂∂∂vvv6不同坐标系下不同坐标系下不同坐标系下不同坐标系下不同坐标系下不同坐标系下不同坐标系下不同坐标系下的表示的表示的表示的表示的表示的表示的表示的表示柱面坐标系中：柱面坐标系中：柱面坐标系中：柱面坐标系中：zeyexezyx∂∂+∂∂+∂∂=∇vvv直角坐标系中：直角坐标系中：直角坐标系中：直角坐标系中：球坐标系中：球坐标系中：球坐标系中：球坐标系中：ϕθθϕθ∂∂⋅+∂∂+∂∂=∇sin11RaRaRaRrrrzererezr∂∂+∂∂+∂∂=∇vvvϕϕ1∇7如何记忆如何记忆如何记忆如何记忆如何记忆如何记忆如何记忆如何记忆？？？？？？？？dzadyadxaldzyxrrrr++=直角坐标系：直角坐标系：直角坐标系：直角坐标系：直角坐标系：直角坐标系：直角坐标系：直角坐标系：∇⇒dldzayaxazyx∂∂+∂∂+∂∂=∇rrr∇?=ldr8柱面坐标系：柱面坐标系：柱面坐标系：柱面坐标系：柱面坐标系：柱面坐标系：柱面坐标系：柱面坐标系：dzadradraldzrrrrr+⋅+=)(ϕϕzararazr∂∂+∂∂+∂∂=∇rrrϕϕ1∇⇒dld?=ldr9球坐标系：球坐标系：球坐标系：球坐标系：球坐标系：球坐标系：球坐标系：球坐标系：)sin()(ϕθθϕθdRadRadRaldR⋅⋅+⋅+=rrrrϕθθϕθ∂∂⋅+∂∂+∂∂=∇sin11RaRaRaRrrr∇⇒dld?=ldr10不同坐标系下不同坐标系下不同坐标系下不同坐标系下不同坐标系下不同坐标系下不同坐标系下不同坐标系下的表示的表示的表示的表示的表示的表示的表示的表示柱面坐标系中：柱面坐标系中：柱面坐标系中：柱面坐标系中：zueyuexueuzyx∂∂+∂∂+∂∂=∇vvv直角坐标系中：直角坐标系中：直角坐标系中：直角坐标系中：球坐标系中：球坐标系中：球坐标系中：球坐标系中：ϕθθϕθ∂∂⋅+∂∂+∂∂=∇uRauRaRuauRsin11rrrzueurerueuzr∂∂+∂∂+∂∂=∇vvvϕϕ1U∇11例题例题例题例题例题例题例题例题已知：已知：已知：已知：θθcos),(0⋅⋅==RVRVV求：求：求：求：求：求：求：求：令：令：令：令：令：令：令：令：VE−∇=r?=Er直接法直接法直接法直接法直接法直接法直接法直接法————————————————球坐标系梯度公式！球坐标系梯度公式！球坐标系梯度公式！球坐标系梯度公式！球坐标系梯度公式！球坐标系梯度公式！球坐标系梯度公式！球坐标系梯度公式！ϕθθϕθ∂∂⋅+∂∂+∂∂=∇sin11RaRaRaRrrr?=−∇=VEr?=∇θθθsincos00VeVeVERrrv+−=−∇=12例题例题例题例题例题例题例题例题距离矢量，求标量场的梯度RRRR1111))))1111((((RRRR∇∇∇∇rrrrrrrrRRRRvvv′′′′−−−−====13源点与场点源点与场点•源点：•场点：),,(zyx′′′rr'R源点场点O),,(zyx14例题例题例题例题例题例题例题例题距离矢量，求标量场的梯度R1)1(R∇rrRvvv′−=zueyuexueuzyx∂∂+∂∂+∂∂=∇vvv?=∇u)()()(zzeyyexxerrRzyx′−+′−+′−=′−=vvv203)1(RRRRRvv−=−=∇0RvrrrrrrrrRRRRvvv′′′′−−−−====是是是是单位矢量单位矢量单位矢量单位矢量15特例特例11(),()?RR′∇∇11()()RR′∇=−∇162.2.2.2.2.2.2.2.矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量线矢量线矢量线矢量线矢量线矢量线矢量线矢量线----------------------------------------线上每一点的切线方向与该点矢量场的方线上每一点的切线方向与该点矢量场的方线上每一点的切线方向与该点矢量场的方线上每一点的切线方向与该点矢量场的方线上每一点的切线方向与该点矢量场的方线上每一点的切线方向与该点矢量场的方线上每一点的切线方向与该点矢量场的方线上每一点的切线方向与该点矢量场的方向相同向相同向相同向相同向相同向相同向相同向相同单位空间内矢量线的个数代表该点场的大小单位空间内矢量线的个数代表该点场的大小0Fdl×=vv172.2.2.2.2.2.2.2.矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量矢量沿某一有向曲面沿某一有向曲面的面积分的面积分AvSv矢量矢量矢量矢量矢量矢量矢量矢量在某一在某一有向曲面有向曲面有向曲面有向曲面有向曲面有向曲面有向曲面有向曲面的的面积分面积分面积分面积分面积分面积分面积分面积分称为称为通过该面的通过该面的通过该面的通过该面的通过该面的通过该面的通过该面的通过该面的通量通量通量通量通量通量通量通量。。cosθnssAdSAedSAdSΦ=⋅=⋅=∫∫vvvv通量通量((FluxFlux))数学描述：数学描述：有向曲面有向曲面有向曲面有向曲面有向曲面有向曲面有向曲面有向曲面：：：：：：：：开表面开表面开表面开表面开表面开表面开表面开表面，，，，，，，，右螺旋右螺旋右螺旋右螺旋右螺旋右螺旋右螺旋右螺旋闭合曲面闭合曲面闭合曲面闭合曲面闭合曲面闭合曲面闭合曲面闭合曲面，外法线，外法线，外法线，外法线，外法线，外法线，外法线，外法线18通量的应用通量的应用•判断闭合曲面内源的性质0=Φ0Φ0Φ无源负源正源19AAdivVsdAVAdivSrrrrr•∇=⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛∆•→∆=∫0lim散度散度散度散度散度散度散度散度定义：定义：定义：定义：定义：定义：定义：定义：单位体积的单位体积的单位体积的单位体积的单位体积的单位体积的单位体积的单位体积的净流出的净流出的净流出的净流出的净流出的净流出的净流出的净流出的通量，称为散度通量，称为散度通量，称为散度通量，称为散度通量，称为散度通量，称为散度通量，称为散度通量，称为散度通量通量通量通量通量通量通量通量描述整个体积描述整个体积描述整个体积描述整个体积描述整个体积描述整个体积描述整个体积描述整个体积““““““““流量流量流量流量流量流量流量流量””””””””的情况，的情况，的情况，的情况，的情况，的情况，的情况，的情况，场中某一点附近的场中某一点附近的场中某一点附近的场中某一点附近的场中某一点附近的场中某一点附近的场中某一点附近的场中某一点附近的““““““““流量流量流量流量流量流量流量流量””””””””？？？？？？？？20直角坐标系中散度表达式直角坐标系中散度表达式直角坐标系中散度表达式直角坐标系中散度表达式直角坐标系中散度表达式直角坐标系中散度表达式直角坐标系中散度表达式直角坐标系中散度表达式()()yxzxyzxxyyzzAAAdivAxyzeeeeAeAeAxyzA∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂=++⋅++∂∂∂=∇⋅rvvvvvvv21柱面坐标系中：柱面坐标系中：柱面坐标系中：柱面坐标系中：zAyAxAAzyx∂∂+∂∂+∂∂=•∇r直角坐标系中：直角坐标系中：直角坐标系中：直角坐标系中：球坐标系中：球坐标系中：球坐标系中：球坐标系中：ϕθθθθϕθ∂∂⋅⋅+⋅∂∂⋅⋅+⋅∂∂⋅=•∇ARARARRRARsin1)sin(sin1)(122rzAArArrrAzr∂∂+