第29讲 数量积及应用

课前准备《优化设计》+《课时训练》+练习本（1）两个向量的夹角作=a，=b，则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角.OAOB0°≤θ≤180°知识归纳1、向量的数量积知识归纳|a||b|-|a||b|当a与b同向时，a·b=；当a与b反向时，a·b=.00)2(2121yyxxbaba2、向量平行、垂直的判定0//)1(1221yxyxbaba000,)3(12212121yxyxyyxxbababa为锐角知识归纳000,)4(12212121yxyxyyxxbababa为钝角,2mabnab,1baab1、已知，且，求：nm,nmn，（2）与的夹角。（1）典例剖析题型一向量的夹角及模的问题求cos,mn典例剖析22221:()2112mmabaabb解（）2222(2)44415nnabaabb2222()(2)44145mnmnabaabb2222:5,5,251110cos,1010mnmnmmnnmnmnmnmn（）即abc3,2,1cba2、已知向量、、两两所成的角相等，，求abc++的长度及其与三已知向量的夹角。且典例剖析题型一向量的夹角及模的问题典例剖析222222120122236622223(cos,abcabcabcabacbcabcabcabcabcabacbcaabaabc解：由题意可知，、、两两所成的角要么是要么是0（）当夹角为0时：此时与、、的夹角都为0（）当夹角为120时：此时)3332,23caaabacaabcaabc，所以150典例剖析,,3babccabc同理可得900(2,1),(,1),()abRab3、设向量，与的夹角为钝角，则的取若向量值范围是____典例剖析题型一向量的夹角及模的问题1(,2)(2,)2典例剖析题型一向量的夹角及模的问题4、(4,3),(1,2),,2abmabnab1、已知nmnm//则（1）当时，（2）当时，＝___＝____典例剖析题型二数量积解决垂直问题52912(3)(75),(4)(72),abababab2、已知ab、是非零向量，且ab求与的夹角。典例剖析题型二数量积解决垂直问题2222222(3)(75)(3)(75)07161501(4)(72)(4)(72)07308021122,ababababaabbababababaabbabbabab解：由得：化简得：（）由得化简得：（）（）（）联立得，，所以cos221122,60bababbab所以3、向量a=(cos(-θ),sin(-θ))，b=（1）求证：a⊥b；（2）若存在不等于0的实数k和t，使x=a+(t2+3)b，y=-ka+tb，且x⊥y，试求此时的最小值.)),2πsin(),2π(cos(t2tk典例剖析题型二数量积解决垂直问题(1)证明∵a·b=cos(-θ)·cos(-θ)+sin(-θ)·sin(-θ)=sinθcosθ-sinθcosθ=0.∴a⊥b.（2）解由x⊥y得x·y=0,即［a+（t2+3）b］·（-ka+tb）=0，∴-ka2+（t3+3t）b2+［t-k（t2+3）］a·b=0，∴-k|a|2+（t3+3t）|b|2=0.又|a|2=1，|b|2=1，∴-k+t3+3t=0，∴k=t3+3t.∴故当t=时，有最小值.2π2π.411)21(3322232tttttttttk21ttk2411典例剖析题型三向量在三角中的应用1、典例剖析题型三向量在三角中的应用2、4、由得是钝角，排除A、B、D，故选C7、依据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断。10、方法：构造关于的不等式0baBACyx讲评作业课时训练29