RC电路响应和三要素法

课前提问：图示电路在换路前处于稳定状态，在t=0瞬间将开关S闭合，则i(0)为()。(a)0A(b)0.6A(c)0.3A答：（a）第3章电路的暂态分析3.2换路定则与电压和电流初始值的确定3.3RC电路的响应3.4一阶线性电路暂态分析的三要素法3.6RL电路的响应3.5微分电路和积分电路3.1电阻元件、电感元件、电容元件3.3RC电路的响应一阶电路暂态过程的求解方法1.经典法:根据激励(电源电压或电流)，通过求解电路的微分方程得出电路的响应(电压和电流)。2.三要素法初始值稳态值时间常数求（三要素）仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路,且由一阶微分方程描述，称为一阶线性电路。一阶电路求解方法代入上式得0ddCCutuRCtuCCCddRuR换路前电路已处稳态UuC)0(t=0时开关,电容C经电阻R放电1S一阶线性常系数齐次微分方程(1)列KVL方程0CRuu1.电容电压uC的变化规律(t0)零输入响应:无电源激励,输入信号为零,仅由电容元件的初始储能所产生的电路的响应。图示电路实质：RC电路的放电过程3.3.1RC电路的零输入响应UuC)0(+-SRU21+–CiCu0tRu+–cRCP1(2)解方程：0ddCCutuRC01RCP特征方程RCtAuCe由初始值确定积分常数A可得时，，根据换路定则,)0()0(UutCUARCtUuCe齐次微分方程的通解：电容电压uC从初始值按指数规律衰减，衰减的快慢由RC决定。0)0(etCut(3)电容电压uC的变化规律ptAuCe:通解电阻电压：RCtURiuCReRCtRUtuCiCCedd放电电流RCtUuCe电容电压CuCiRu2.电流及电阻电压的变化规律tOCCR3uiu、、、变化曲线4.放电时间常数(2)物理意义RC令:单位:S(1)量纲sVAΩsUUuC008.36e1t当时RCtUtuCe)(时间常数决定电路暂态过程变化的快慢008.36时间常数等于电压Cu衰减到初始值U0的所需的时间。qItRCRRUU0.368U23越大，曲线变化越慢，达到稳态所需要的时间越长。Cu时间常数的物理意义1URCτtRCtUUuCee123t0uc当t=5时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。(3)暂态时间理论上认为、电路达稳态0Cut0Cu工程上认为~、电容放电基本结束。)53(ttCu0.368U0.135U0.050U0.018U0.007U0.002U234651e2e3e4e5e6etete随时间而衰减3.3.2RC电路的零状态响应零状态响应:储能元件的初始能量为零，仅由电源激励所产生的电路的响应。实质：RC电路的充电过程分析：在t=0时，合上开关s，此时,电路实为输入一个阶跃电压u，如图。与恒定电压不同，其电压u表达式000tUtuuC(0-)=0sRU+_C+_i0tuCUtu阶跃电压OUutuRCCCdd一阶线性常系数非齐次微分方程UuuCR方程的通解=方程的特解+对应齐次方程的通解CCCuutu)(即1.uC的变化规律(1)列KVL方程3.3.2RC电路的零状态响应uC(0-)=0sRU+_C+_i0tuc(2)解方程求特解：Cu'UutuRCCCddUu'UKC即：解得：KdtdKRCUKu'C,代入方程设：方程的通解:RCtCCCAeUuuuUutu'CC)()(求对应齐次微分方程的通解CutAUuuuCCCe0ddCCutuRC通解即：的解微分方程的通解为）（令RCCu'求特解----（方法二）RCtptAAuCee其解：确定积分常数A0)0(Cu根据换路定则在t=0+时，UA则(3)电容电压uC的变化规律)0()()e1e1(ttRCtUUuCRCtCUUue暂态分量稳态分量电路达到稳定状态时的电压-UCuCu+UCu仅存在于暂态过程中63.2%U-36.8%UtCuo3.、变化曲线CuCiCiCutCuCi当t=时UeUuC%2.63)1()(1表示电容电压uC从初始值上升到稳态值的63.2%时所需的时间。)e1(RCtUuC2.电流iC的变化规律0eddtRUtuCitCC4.充电时间常数的物理意义为什么在t=0时电流最大？URU3.3.3RC电路的全响应1.uC的变化规律全响应:电源激励、储能元件的初始能量均不为零时，电路中的响应。根据叠加定理全响应=零输入响应+零状态响应)0()e1(e0tUUuRCtRCtCuC(0-)=U0sRU+_C+_i0tuC)0()e1(e0tUUuRCtRCtC)0()e(0tUUURCt稳态分量零输入响应零状态响应暂态分量结论2：全响应=稳态分量+暂态分量全响应结论1：全响应=零输入响应+零状态响应稳态值初始值U0.632U123321越大，曲线变化越慢，达到稳态时间越长。结论：Cu当t=5时,暂态基本结束,uC达到稳态值。0.998Ut0Cu00.632U0.865U0.950U0.982U0.993U26453tCuO2、时间常数UuC)(稳态解初始值0)0()0(UuuCCtCUUUue)(03.4一阶线性电路暂态分析的三要素法仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路,且由一阶微分方程描述，称为一阶线性电路。据经典法推导结果全响应RCtCCCCuuuue)]()0([)(uC(0-)=UosRU+_C+_i0tuc)(tf：代表一阶电路中任一电压、电流函数式中,初始值--（三要素）)(f稳态值--)0(f时间常数--tffftfe)]()0([)()(在直流电源激励的情况下，一阶线性电路微分方程解的通用表达式：利用求三要素的方法求解暂态过程，称为三要素法。一阶电路都可以应用三要素法求解，在求得、和的基础上,可直接写出电路的响应(电压或电流)。)0(f)(f电路响应的变化曲线)0(ft)(tfO)(f)0(f0)0()a(f0)0()b(f0)()c(ft)(tfOt)(tfO)(f0)()d(ft)(tfO)0(f)(f三要素法求解暂态过程的要点终点)(f起点)0(f(1)求初始值、稳态值、时间常数；(3)画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线。(2)将求得的三要素结果代入暂态过程通用表达式；)0()]0()([6320fff.tf(t)O求换路后电路中的电压和电流，其中电容C视为开路,电感L视为短路，即求解直流电阻性电路中的电压和电流。V555510)(Cu6666)(LimA3(1)稳态值的计算)(f响应中“三要素”的确定uC+-t=0C10V5k1FS例：5k+-Lit=03666mAS1H1)由t=0-电路求)0()0(LCiu、2)根据换路定则求出)0()0()0()0(LLCCiiuu3)由t=0+时的电路，求所需其它各量的)0(i)0(u或在换路瞬间t=(0+)的等效电路中电容元件视为短路。;0U其值等于，若0)0(Cu(1)若，0)0(0UuC电容元件用恒压源代替，0)0(0IiL0)0(Li若其值等于I0,,电感元件视为开路。(2)若,电感元件用恒流源代替，注意：)0(f(2)初始值的计算1)对于简单的一阶电路，R0=R;CR02)对于较复杂的一阶电路，R0为换路后的电路除去电源和储能元件后，在储能元件两端所求得的无源二端网络的等效电阻。(3)时间常数的计算对于一阶RC电路对于一阶RL电路0RL注意：若不画t=(0+)的等效电路，则在所列t=0+时的方程中应有uC=uC(0+)、iL=iL(0+)。R03210)//(RRRRU0+-CR0R0的计算类似于应用戴维宁定理解题时计算电路等效电阻的方法。即从储能元件两端看进去的等效电阻，如图所示。CR0R1U+-t=0CR2R3SR1R2R3例1：解：用三要素法求解teuuuuCCCC)()0()(cuCi2i电路如图，t=0时合上开关S，合S前电路已处于稳态。试求电容电压和电流、。(1)确定初始值)0(Cu由t=0-电路可求得V54106109)0(33Cu由换路定则V54)0()0(CCuu应用举例t=0-等效电路)0(Cu9mA+-6kRS9mA6k2F3kt=0Ci2iCu+-CR(2)确定稳态值)(cu由换路后电路求稳态值)(cuV18103636109)(33Cu(3)由换路后电路求时间常数s3630104102103636CR)(Cut∞电路9mA+-6kR3kt=0-等效电路)0(Cu9mA+-6kRV54)0(CuV18)(Cus3104三要素Ve3618e)1854(182503104ttCuttuCiCC250e)250(36102dd6Ae018.0t250uC的变化曲线如图18V54VuC变化曲线tCuOtCCCCiiiie)()0()(用三要素法求Ci0)(CimAe126250t32103)()(tutiCmAe18)(250ttiCmA181025418)0(3Ci54V18V2k)0(Cit=0+++--S9mA6k2F3kt=0Ci2iCu+-CR3k6k)0(Ci+-54V9mAt=0+等效电路例2：由t=0-时电路电路如图，开关S闭合前电路已处于稳态。t=0时S闭合，试求：t≧0时电容电压uC和电流iC、i1和i2。解：用三要素法求解V333216)0(Cu求初始值)0(CuV3)0()0(CCuu+-St=0CFμ56V12Cu321+-)0(Cut=0-等效电路12+-6V3)0(i+-Ve35107.1tt66103e0tCCCCUuuutue)()0()()(s6600161053232CR求时间常数由右图电路可求得求稳态值Cu0Cu+-St=0CFμ56V12Cu321+-Cf52Cu321+-tuCtiCCdd)(A3510712t.eu)t(iCCiiti21)(tt5107.15107.1e5.2eA5107.1e5.1t(、关联)CCiuAe5.25107.1t+-St=0CFμ56V12Cu321+-课堂练习题：图示电路原已稳定，t=0时将开关S闭合。已知：R1=6k，R2=1k，R3=2k，C=0.1F，IS=6mA。求S闭合后的uC(t)。解：uuIRCC()()00361SViRRRRI311233410()()SAuiRC()()338V=(s1RRRC233015610)//.utCtt().836882864103eeV小结一、RC电路的响应0tcuUe0tcUieR0RC1、零输入响应：RC电路的放电过程。2、零状态响应：RC电路的充电过程。1tcuUetcUieR0RC3、全响应0tcuUUUe01tt