离散型随机变量及其分布列(一轮复习)

[备考方向要明了]高考对本节内容的考查多以实际问题为背景，以解答题的形式考查离散型随机变量的分布列的求法，且常与排列、组合、概率、均值与方差等知识综合考查，难度适中，如2012年湖南T17等.1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个离散型随机变量的分布列．2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.怎么考考什么[归纳·知识整合]1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着实验结果的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．(2)离散型随机变量：所有取值可以的随机变量．变化而变化一一列出2．离散型随机变量分布列的概念及性质(1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．(2)分布列的性质①，i＝1,2,3，…，n；②.pi≥0[探究]1.离散型随机变量X的每一个可能取值为实数，其实质代表什么？提示：代表的是“事件”，即事件是用一个反映结果的实数表示的．i＝1npi＝13．常见的离散型随机变量的分布列(1)两点分布列:X01P1－pp若随机变量X的分布列具有上表的形式，就称X服从两点分布，并称p＝为成功概率．P(X＝1)(2)超几何分布列在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.CkMCn－kN－MCnNX01…mP…C0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnNCmMCn－mN－MCnN如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．[探究]2.如何判断所求离散型随机变量的分布列是否正确？提示：可利用离散型随机变量分布列的两个性质加以检验．[自测·牛刀小试]1．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()A．取到产品的件数B．取到正品的概率C．取到次品的件数D．取到次品的概率解析：对于A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B、D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．答案：C2．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有()A．17个B．18个C．19个D．20个解析：1～10任取两个的和可以是3～19中的任意一个，共有17个．答案：AA．0B.12C.13D.23解析：设失败率为p，则成功率为2p，分布列为：由p＋2p＝1，得p＝13，故2p＝23.答案：D3．某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝1)等于()ξ01Pp2p4．若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1x2，则P(x1≤ξ≤x2)等于()A．(1－α)(1－β)B．1－(α＋β)C．1－α(1－β)D．1－β(1－α)解析：由分布列性质可有：P(x1≤ξ≤x2)＝P(ξ≤x2)＋P(ξ≥x1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β)．答案：B5．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率等于C47C68C1015的是()A．P(X＝2)B．P(X≤2)C．P(X＝4)D．P(X≤4)解析：此题为超几何分布问题，15个村庄中有7个村庄交通不方便，8个村庄交通方便，C47C68表示选出的10个村庄中恰有4个交通不方便，6个交通方便，故P(X＝4)＝C47C68C1015.答案：C离散型随机变量分布列的性质[例1](1)设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为：ξ－101P121－2qq2则q的值为()A．1B．1±22C．1＋22D．1－22(2)设离散型随机变量ξ的分布列为：ξ01234P0.20.10.10.3m求：①2ξ＋1的分布列；②|ξ－1|的分布列．[自主解答](1)由分布列的性质，有1－2q≥0，q2≥0，12＋1－2q＋q2＝1，解得q＝1－22.或由1－2q≥0⇒q≤12，可排除A、B、C.(2)由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解得m＝0.3.首先列表为：ξ012342ξ＋113579|ξ－1|10123从而由上表得两个分布列为：①2ξ＋1的分布列：2ξ＋113579P0.20.10.10.30.3②|ξ－1|的分布列：|ξ－1|0123P0.10.30.30.3[答案](1)D本例(2)题目条件不变，求P(12ξ＋19)．解：P(12ξ＋19)＝P(2ξ＋1＝3)＋P(2ξ＋1＝5)＋P(2ξ＋1＝7)＝0.1＋0.1＋0.3＝0.5.———————————————————————————————————————————离散型随机变量分布列性质的应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负；(2)若ξ为随机变量，则2ξ＋1，|ξ－1|等仍然为随机变量，求它们的分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．1．随机变量X的概率分布列规律为P(X＝n)＝ann＋1(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P12X52的值为()A.23B.34C.45D.56解析：∵P(X＝n)＝ann＋1(n＝1,2,3,4)，∴a2＋a6＋a12＋a20＝1，∴a＝54，∴P12X52＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝54×12＋54×16＝56.答案：D离散型随机变量分布列[例2]袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到1个红球得2分，取到1个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)求得分X的分布列；(2)求得分大于6分的概率．[自主解答](1)从袋中随机取4个球的情况为1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5,6,7,8.P(X＝5)＝C14C33C47＝435，P(X＝6)＝C24C23C47＝1835，P(X＝7)＝C34C13C47＝1235，P(X＝8)＝C44C03C47＝135.故所求得分X的分布列为X5678P43518351235135(2)根据随机变量X的分布列，可以得到得分大于6的概率为P(X6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝1235＋135＝1335.—————————————————求离散型随机变量的分布列的三个步骤(1)明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；(2)利用概率的有关知识，求出随机变量每个取值的概率；(3)按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证．2．(2013·泰安模拟)某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：(1)从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；版本人教A版人教B版苏教版北师大版人数2015510(2)若随机选出2名使用人教版的老师发言，设使用人教A版的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．解：(1)从50名教师中随机选出2名的方法数为C250＝1225.选出2人使用版本相同的方法数为C220＋C215＋C25＋C210＝350.故2人使用版本相同的概率为P＝3501225＝27.(2)∵P(ξ＝0)＝C215C235＝317，P(ξ＝1)＝C120C115C235＝60119，P(ξ＝2)＝C220C235＝38119，∴ξ的分布列为：ξ012P3176011938119超几何分布问题[例3]某高校的一科技小组有5名男生，5名女生，从中选出4人参加全国大学生科技大赛，用X表示其中参加大赛的男生人数，求X的分布列．[自主解答]依题意随机变量X服从超几何分布，所以P(X＝k)＝Ck5C4－k5C410(k＝0,1,2,3,4)．∴P(X＝0)＝C05C45C410＝142，P(X＝1)＝C15C35C410＝521，P(X＝2)＝C25C25C410＝1021，P(X＝3)＝C35C15C410＝521，P(X＝4)＝C45C05C410＝142，∴X的分布列为X01234P1425211021521142—————————————————超几何分布的特点(1)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出；(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．3．从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列．解：(1)所选3人中恰有一名男生的概率P＝C25C14C39＝1021.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝C35C39＝542，P(ξ＝1)＝C25C14C39＝1021，P(ξ＝2)＝C15C24C39＝514，P(ξ＝3)＝C34C39＝121.故ξ的分布列为ξ0123P54210215141212个注意点——掌握离散型随机变量分布列的注意点(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量的所有可能取得的值；第二行为对应于随机变量取值的事件发生的概率．看每一列，实际上是：上为“事件”，下为事件发生的概率；(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．3种方法——求分布列的三种方法(1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列；(2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列；(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列.易误警示——随机变量取值不全导致错误[典例](2013·长沙模拟)盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个．第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球(假设取到每个球的可能性都相同)．记第一次与第二次取得球的标号之和为ξ.(1)求随机变量ξ的分布列；(2)求随机变量ξ的期望．[解](1)由题意可得，随机变量ξ的取值是2,3,4,6,7,10.且P(ξ＝2)＝0.3×0.3＝0.09，P(ξ＝3)＝C12×0.3×0.4＝0.24，P(ξ＝4)＝0.4×0.4＝0.16，P(ξ＝6)＝C12×0.3×0.3＝0.18，P(ξ＝7)＝C12×0.4×0.3＝0.24，P(ξ＝10)＝0.3×0.3＝0.09.故随机变量ξ的分布列如下：ξ2346710P0.090.240.160.180.240.09(2)随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝2×0.09＋3×0.24＋4×0.16＋6×0.18＋7×0.24＋10×0.09＝5.2.[易误辨析](1)本题由于离散型随机变量ξ的取值情况较多，极易发生对随机变量取值考虑不全而导致解题错误．(2)此类问题还极易发生如下错误：虽然弄清随机变量的所有取值，但对某个取值考虑不全而导致解题错误．(3)避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为1.[变式训练]某射手有5发子弹，射击一次命中的概率是0.9.若命中就停止射击，否则就一直到子弹用尽，求耗用子弹数X的分布列．解：X的取值为1,2,3,4,5，它们的概率分别为：P(X＝1)＝0.9，P(X＝2)＝0.1×0.9＝0.09，P(X＝3)＝0.12×0.9＝0.009，P(X＝4)＝0.13×0.9＝0.0009，当X＝5时，说明前四发都没命中，不管第五次中与不中都要射第五发子弹，∴P(X＝5)＝0.14＝0.0001，故X的分布列为：X12345P0.90.090.0090.00090.00011．设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝i)＝a23i，i＝1,2,