离散型随机变量的期望值与方差

离散型随机变量的期望值和方差一、基本知识概要：1、期望的定义：一般地，若离散型随机变量ξ的分布列为…Pn…P3P2P1P…xn…x3x2x1ξ则称Eξ=X1P1+X2P2+X3P3+…+XnPn+…为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望。它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。若η=aξ+b(a、b为常数)，则η也是随机变量，且Eη=aEξ+b。E(c)=c特别地，若ξ～B(n，P)，则Eξ=nP2、方差、标准差定义：Dξ=(X1-Eξ)2·P1+(X2-Eξ)2·P2+…+(Xn-Eξ)2·Pn+…称为随机变量ξ的方差。Dξ的算术平方根=δξ叫做随机变量的标准差。D随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。且有D(aξ+b)=a2Dξ,可以证明Dξ=Eξ2-(Eξ)2。若ξ～B(n，p)，则Dξ=npq，其中q=1-p.3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。二、例题：例1、（1）下面说法中正确的是()A．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的概率的平均值。B．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的平均水平。C．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的平均水平。D．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的概率的平均值。C例1、（2）（2001年高考题）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出两个，则其中含红球个数的数学期望是。说明：近两年的高考试题与《考试说明》中的“了解……，会……”的要求一致，此部分以重点知识的基本题型和内容为主，突出应用性和实践性及综合性。考生往往会因对题意理解错误，或对概念、公式、性质应用错误等，导致解题错误。1.2例2、设是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求E、D1－2P10－12q21q剖析：应先按分布列的性质，求出的值后，再计算出E、D。q说明：解答本题时，应防止机械地套用期望和方差的计算公式，出现以下误解：E＝。211)21(021)1(22qqq练习：已知ξ的分布列为P10-1ξ213161(1)求Eξ,Dξ,δξ，(2)若η=2ξ+3,求Eη,Dη例3、人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保险费元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死亡则赔付1万元，经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是，非意外死亡的概率为，则需满足什么条件，保险公司才可能盈利？a1p2pa剖析：要使保险公司能盈利，需盈利数的期望值大于0，故需求E。说明：（1）离散型随机变量的期望表征了随机变量取值的平均值（2）本题中D有什么实际意义？例4：把4个球随机地投入4个盒子中去，设表示空盒子的个数，求E、D剖析：每个球投入到每个盒子的可能性是相等的，总的投球方法数为，空盒子的个数可能为0个，此时投球方法数为；空盒子的个数为1时，此时投球方法数为，。446464!4)0(,!4444PA332414ACC)3(),2(,6436)1(PPP同样可分析例5、已知两家工厂，一年四个季度上缴利税如下：（单位：万元）季度一二三四季平均值甲厂7050804060乙厂5565556560试分析两厂上缴利税状况，并予以说明。说明：本题考查利用离散型随机变量的方差与期望的知识，分析解决实际问题的能力。例6、(1)设随机变量ξ具有分布列为P(ξ=k)=(k=1，2，3，4，5，6)，求Eξ、E(2ξ+3)和Dξ。61(2)设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=(k=1，2，3，…，n)，求Eξ和Dξ。n1(3)一次英语测验由50道选择题构成，每道有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，满分150分，某学生选对每一道题的概率为0.7，求该生在这次测验中的成绩的期望与方差。说明：可根据离散型随机变量的期望和方差的概念、公式及性质解答。三、课堂小结：1、利用离散型随机变量的方差与期望的知识，可以解决实际问题。利用所学知识分析和解决实际问题的题型，越来越成为高考的热点，应予重视。2、常生产生活中的一些问题，我们可以转化为数学问题，借助于函数、方程、不等式、概率、统计等知识解决。同时，要提高分析问题和解决问题的能力，必须关注生产和生活。四、布置作业：教材P195页闯关训练