第4章_基于对LC网络模拟的高阶有源RC滤波器的分析与设计(放映)

现代电路理论与设计第４章基于对LC网络模拟的高阶有源RC滤波器的分析与设计引言设计高阶有源滤波器的基本方法是基于对LC网络模拟的设计方法。本章主要讨论基于对双端接电阻的LC梯形网络模拟的高阶有源滤波器的设计法。这是一种以无源LC梯形网络为基础来设计有源RC滤波器和其他有源滤波器的最基本的方法。主要包括对LC梯形网络工作的模拟和对LC梯形网络元件的模拟两种方法。双端接电阻或双端接载的LC梯形网络从信号源到负载传输的功率最大时，网络具有很低的灵敏度。所以用基于对LC梯形网络模拟的方法设计出的有源滤波器也具有比较低的灵敏度。引言（1）基于对LC梯形网络工作模拟的有源RC滤波器的设计法基于对LC梯形网络工作模拟的设计方法是利用前面讨论过的有源RC网络去模拟LC梯形网络的内部工作关系，从而实现有源RC滤波器的一种设计方法。这种方法也称为运算模拟法。被用来模拟的满足滤波要求的LC梯形网络称为原型LC梯形网络。LC梯形网络的内部工作关系主要是指元件的伏安关系和电路拓扑中的电压电流关系。引言在LC梯形网络中，电感元件和电容元件的v-i关系是积分和微分关系。这些关系可以利用含有积分器的有源RC电路来模拟实现。另外，根据基尔霍夫电压定律和基尔霍夫电流定律描述的LC梯形网络的回路电压关系和节点电流关系也可以用有源电路组成的相加器来模拟实现。因此，用基于对LC梯形网络工作模拟的方法设计出来的滤波器是由有源积分器和相加器组成的有源RC滤波器。我们把这样的设计方法称为基于对LC梯形网络工作模拟的有源RC滤波器的设计法。引言引言引言（2）基于对LC梯形网络元件模拟的设计法基于对LC梯形网络元件模拟的设计方法是利用具有电感性输入阻抗的有源RC电路替换原型LC梯形网络中的电感元件L，从而实现有源RC滤波器的一种设计方法。这种方法也称为元件模拟法或电感替换法。用有源电路替代无源电路的一个主要目的是实现电路的微型化和集成化。电感元件是实现电路集成化的一个主要障碍。它的体积比较大，而且非线性比较严重。因此，用有源RC电路替换电感具有非常重要的意义。而且用这种方法设计有源RC电路的原理非常简单，设计过程非常直观。（3）级联设计法实现高阶有源滤波器的最直接和最简单的方法是级联设计法。这就是把前面所讨论的一阶滤波器、二阶滤波器通过直接级联的方法组成高阶滤波器。实现一个n阶滤波器，当n为偶数时，需要将n/2个二阶滤波器级联。当n为奇数时，需要将（n-1）/2个二阶滤波器和1个一阶滤波器级联。引言引言（4）多回路反馈设计法多回路反馈设计法是在级联结构的基础上通过引入适当的反馈以实现特定的转移函数的一种设计方法。通过这种方法设计的电路既保留了级联设计的基本结构，又克服了级联设计灵敏度高的缺点。本章主要介绍利用LC梯形网络工作模拟设计法和对LC梯形网络元件模拟设计法来设计高阶滤波器的方法。一般地讲，阶数大于或等于4的滤波器称为高阶滤波器。但是为了便于讲解原理，下面也介绍二阶和三阶电路的设计方法。4.1全极点低通滤波器的分析与设计4.1全极点低通滤波器的分析与设计本节以全极点低通滤波器的设计为例，说明基于对LC梯形网络工作模拟的有源RC滤波器的设计方法和设计步骤。在下面的讨论中，用小写字母表示原型LC梯形网络中的电压、电流和元件值，用大写字母表示由模拟法得到的有源RC梯形网络中的电压、电流和元件值。一个双端接电阻的五阶LC梯形网络如下图所示。其中的元件值可以通过滤波器设计手册或计算机辅助设计程序求得，也可以用人工方法求得。4.1全极点低通滤波器的分析与设计4.1全极点低通滤波器的分析与设计vic3rSl2l4c5+-vo-+rLc1c3rSl2l4c5vo-+rLc1isvr1v1svr2i1i3v5v3i5i5Lvr2v4v4i4.1全极点低通滤波器的分析与设计设计步骤如下：1.列写LC梯形网络的工作方程为了对N阶原型LC梯形网络的工作情况进行模拟，必须先列写能够完全描述N阶LC梯形网络工作的N个方程。为了列写方程，首先需要选取网络的变量。必须选取电容电压和电感电流作为LC梯形网络的变量。因为有源RC滤波器的基本单元电路是积分器，要用每一个积分器来模拟LC梯形网络中一个相应的无源元件的工作特性。因此，LC梯形网络中的电容电压和电感电流通过模拟都会以积分器输出电压的形式出现在有源电路中，其他所有的电压和电流都不会直接出现在有源电路中。这就是说，所列的N个方程必须只包含电容电压和电感电流以及输入电压。其他的变量必须通过节点电压方程或节点电流方程的关系消去。这样，必须选取电容电压和电感电流作为LC梯形网络的变量。对上图所示的电路，就要选取v1、i2、v3、i4、v5为电路变量。下面以上图为例，说明列写方程的具体方法和步骤。4.1全极点低通滤波器的分析与设计4.1全极点低通滤波器的分析与设计如图所示是一个五阶LC梯形网络，需要列写五个工作方程。首先列写梯形网络中第一个元件c1的工作方程，即描述c1的电压电流关系的方程。为了便于列写电容c1上端节点的节点方程，将图中的电压源转换为电流源。于是得到c1的电压电流关系为：111sciv4.1全极点低通滤波器的分析与设计因为变量i1不是我们所选取的电路变量，它不应该出现在最终的方程中，可以通过该节点的电流关系消去不必要的电流变量i1。该节点的电流关系为：211irvrvissi消去变量i1得：)/1()/(121ssirscirvv该式描述了电容c1和端接电阻rs在电路中的工作关系，而且只包含了所允许的变量。所以该式是我们所要列写的符合要求的五个方程中的第一个方程。c3rSl2l4c5vo-+rLc1isvr1v1svr2i1i3v5v3i5i5Lvr2v4v4i)/1()/(121ssirscirvv4.1全极点低通滤波器的分析与设计4.1全极点低通滤波器的分析与设计下面列写梯形网络中第二个元件l2的工作方程。它的电压电流关系为：222slvi其中v2不是我们所需要的变量。可以通过包含l2的回路方程而消去这个变量。该回路的回路电压方程为：312vvv消去变量v2，得：2312slvvi该式是我们所要列写的符合要求的五个方程中的第二个方程。c3rSl2l4c5vo-+rLc1isvr1v1svr2i1i3v5v3i5i5Lvr2v4v4i2312slvvi3423sciiv4534slvvi)/1(545lrsciv)/1()/(121ssirscirvv4.1全极点低通滤波器的分析与设计4.1全极点低通滤波器的分析与设计用同样的方法，可以对电容c3、l4和c5列出符合要求的方程为：3423sciiv4534slvvi)/1(545lrsciv上述各式组成的方程组完全描述了LC梯形网络的工作过程。这些方程中的变量只包含了电容电压、电感电流和输入电压，所以适合于用有源RC积分器和相加器来模拟实现。几个方程中的分子项可以用相加器来实现，相加器的输出就是为积分器的输入。∑voisvr1v2i3v5v4i111sscr21sl31sc2134541sl511Lscr∑∑∑2.画方框图上面列出的五个方程所描述的工作关系可以用如下的方框图表示。2312slvvi3423sciiv4534slvvi)/1(545lrsciv)/1()/(121ssirscirvv4.1全极点低通滤波器的分析与设计4.1全极点低通滤波器的分析与设计方框图具有以下规律：（1）该框图主要由积分器和相加器组成。共包括五个积分器，每个积分器代表一个元件的工作方程。一般地说，N阶LC梯形网络的方框图有N个积分器，组成（N-1）个双积分回路；（2）各积分器输出端的朝向是上下交替的。其中，用来模拟电容工作的积分器输出端朝下，而用来模拟电感工作的积分器输出端是朝上的。（3）第一个和最后一个积分器是阻尼积分器，阻尼电阻分别是LC网络的端接电阻rs和rL。其余积分器是无阻尼积分器。而这些积分器可以用有源积分器实现。4.1全极点低通滤波器的分析与设计积分器用有源电路实现时，反相积分器的电路比较简单，而同相积分器的实现则需要在反相积分器的后面再加一级反相器，因而要比反相积分器多一个运算放大器。为了减少运放的个数，应尽量少用同相积分器。上图的五个积分器都是同相积分器。为了尽量多采用反相积分器，需要在不改变电路转移函数的条件下，对LC梯形网络工作过程的方程式进行一些变形。为此，必须改画方框图。例如，为了能够使第一、三、五个积分器是反相积分器，使第二、四个积分器是同相积分器，可将上述五个方程变为：4.1全极点低通滤波器的分析与设计)]/1([)/(121ssirscirvv2312)(slvvi3423)(sciiv4534slvvi)]/1([545lrsciv根据调整以后的这五个方程，得到的电路方框图如所示。方框图中的相加器可以用独立的有源相加器实现，但是为了简化电路，最好用积分器的虚地输入端去实现。∑isvr1v2i3v5v4i111sscr21sl31sc2134541sl511Lscr∑∑∑根据调整以后的五个方程，得到的电路方框图如所示。)]/1([)/(121ssirscirvv2312)(slvvi3423)(sciiv4534slvvi)]/1([545lrsciv4.1全极点低通滤波器的分析与设计∑voisvr1v2i3v5v4i111sscr21sl31sc2134541sl511Lscr∑∑∑∑isvr1v2i3v5v4i111sscr21sl31sc2134541sl511Lscr∑∑∑0v4.1全极点低通滤波器的分析与设计4.1全极点低通滤波器的分析与设计3.实现电路画出方框图以后，还要将该方框图用实际的电路去实现。方框图中的相加器可以用独立的有源相加器实现，但是为了简化电路，最好用积分器的虚地输入端去实现。反相积分器和同相积分器的实现电路分别如下图所示。iVoVCRiVCRoVR1R14.1全极点低通滤波器的分析与设计前面所示的双端接电阻的五阶LC梯形网络的有源RC实现电路如下所示。iV2V4V1V3V5VoViG112G32G34G54G21G23G43G45G11G11C22CGGGG33C44C55C55G)1()2()3()4()5(4.1全极点低通滤波器的分析与设计有源RC电路中的工作关系（用大写字母表示）与原型LC网络的工作关系（用小写字母表示）的对应关系如下：)/1()/(121111121211ssiiirscirvvGsCVGVGV2312223231212slvvisCVGVGV3423334342323sciivsCVGVGV4534445453434slvvisCVGVGV)/1(54555554545lrscivGsCVGV4.1全极点低通滤波器的分析与设计从上面的方程可以得到各变量的对应关系如下：;;;;;;5544332211vViVvViVvVvVii有源电路的元件值可以通过下面的关系确定：lssirGcCGlCGGcCGGlCGGrGcCGrG1,,1,,1,1,,1,1,,1,1,1,,1,15555554444454333334322222321111111214.1全极点低通滤波器的分析与设计采用上述元件值实现的有源电路的转移函数V5/Vi与原型LC梯形网络的转移函数v5/vi相同。但是，上述元件值不是唯一的，而且往往是不实际的。比如，有时候元件值可能太大，有时候元件值可能太小。所以要对元件值进行定标。另外，为了使所实现的有源RC电路的动态范围为