新型期权

2020/2/281引言除了标准期权，金融市场上每天都在交易大量的奇异期权(ExoticOptions，也称“新型期权，第二代期权”)。新型期权大多在场外交易，期权合约的条款主要依据交易双方的需求来协商，因此新型期权的种类繁多，很难将其归类，本章主要介绍其中最常见的三类新型期权，即合同条款变化型期权。这一类期权是合同条款在标准期权基础上变化而成的新型期权。路径依赖型期权。这一类期权的特点是期权的最终收益不仅仅依赖于标的资产到期日的价格，更多的是依赖于标的资产价格变化的路径。多因素型期权。这一类期权的最终收益取决于两个或更多的标的资产的价格。由于奇异期权千变万化，因此要想给出奇异期权的统一的定价方法是不可能的，本章将简要介绍新型期权的定价方法。2020/2/28212.1合同条款变化型期权2020/2/2831.1半美式期权（BermudanOptions）半美式期权（或百慕大期权）允许投资者在期权有效期内的几个特定时间执行。因此半美式期权介于欧式期权和美式期权之间的一种新型期权。比如，期权可以有3年的到期时间，但只有在3年中每一年的最后一个月才能被执行，它的应用常常与固定收益市场有关。界定百慕大期权、美式期权和欧式期权的主要区别在于行权时间的不同，百慕大期权可以被视为美式期权与欧式期权的混合体，如同百慕大群岛混合了美国文化和英国文化一样。2020/2/2841.2数字期权（BinaryOptions）数字期权也称两值期权、二元期权、赌博期权、非全有即全无期权。如果到期日标的资产价格与执行价符合投资者的预测，那么数字期权的投资者将得到一个收益Q，否则为0。数字期权分为两类：“有或无”型（allornothing）。只有在到期日期权具有内在价值时才有收益。“一触即有”型（one-touch）。只要期权在有效期内某时刻具有内在价值就有收益。收益可以在期权内在价值大于零时立即获得，或者延迟至到期日获得。2020/2/2851.2数字期权（BinaryOptions）标准期权和数字期权的收益曲线到期收益XS到期收益XS图1（a）标准期权的收益曲线图图1（b）数字期权的收益曲线2020/2/2861.2数字期权（BinaryOptions）下面介绍两种具体的数字期权。现金或无价值看涨期权（Cash-or-nothingCall）。收益期权到期时，如果标的资产价格低于执行价格，该期权没有价值；如果高于执行价格，则该期权支付一个固定的数额Q。定价期权到期时股票价格超过执行价的概率为，因此现金或无价值看涨期权的价格就是，相应地现金或无价值看跌期权的价值是。2Nd2rTtQeNd2rTtQeNd2020/2/2871.2数字期权（BinaryOptions）资产或无价值看涨期权（Asset-or-nothingCall）收益如果标的资产价格在到期日时低于执行价格，该期权没有价值；如果高于执行价格，则该期权支付一个等于资产价格本身的款额。定价现金或无价值看涨期权的价格为相应地现金或无价值看跌期权的价值是TS11rTtTtSeNdSNd11rTtTtSeNdSNd2020/2/2881.3迟付期权（或有期权）迟付期权也称或有期权，这种期权在购买时不需要支付期权费，只有到期时若期权具有内在价值，投资者支付给卖方期权费，因此称为迟付期权。迟付期权的买方在到期日如果期权具有内在价值就必须执行，即使内在价值小于购买价格（即期权费，此时买方是亏损的）。如果到期时期权没有内在价值，买房就不用支付期权费。下图给出了迟付期权的收益曲线。到期收益S图10.1.2或有期权的收益曲线2020/2/2891.4买卖权可选期权这种期权的买方拥有在未来某一天选择期权种类的权利，即选择看涨期权还是看跌期权，或者说买入标的资产还是卖出标的资产。这种策略很像跨式组合策略，但却便宜许多。因为买卖权可选期权的买方做过选择之后，只拥有一种期权，而跨式组合的买方同时拥有看涨和看跌期权直至到期日。2020/2/281012.2路径依赖性期权2020/2/2811基本概念路径依赖（PathDependence）是指期权的价格会受到标的变量的演化路径的影响。它又可以分为弱式路径依赖（WeakPathDependence）如果期权价格会受到路径变量的影响，但是在期权定价的偏微分方程中并不需要比与之类似的常规欧式期权增加新的独立路径依赖变量，就属于弱式路径依赖性质的期权。强式路径依赖（StrongPathDependence）。这些期权的损益除了取决于标的资产的目前价格和时间之外，还取决于资产价格路径的一些特征，也就是说我们不能将期权价格简单看成函数，我们还需要获得资产价格路径的更多信息。期权价值是原来的期权价格、时间和至少再多一个独立变量的函数，相应的在期权价值偏微分方程中也将增加期权价值对这些独立变量的偏导数。2020/2/28122.1亚式期权（AsianOptions）亚式期权是当今金融衍生品市场上交易最为活跃的奇异期权之一。它最重要的特点在于其到期收益依赖于标的资产在一段特定时间（可能是整个期权有效期或其中的一部分时段）内的平均价格。它属于强式路径依赖期权，因为这一平均价格将成为定价公式中的一个独立状态变量。亚式期权受欢迎的一个重要原因在于：平均值的采用减少了波动，导致了它比一个类似的标准期权要便宜。同时，在许多情况下，在市场上寻求套期保值的公司往往需要为他们在未来一段时间内连续平稳的可预测现金流进行保值，这时持有一个合适的亚式期权可以对冲平均价格的风险。有时，亚式期权所使用的是一段特定时期内的平均价格，往往可以满足投资者的特殊需求。例如有一类亚式期权被称为尾部亚式期权（Asiantail），使用的是期权快到期之前一段时间内的标的资产平均值，这对于那些到期时有固定的现金流出的交易者（比如养老金帐户）就很有意义，可以避免到期前标的资产价格突然波动带来的风险。2020/2/28132.1亚式期权（AsianOptions）亚式期权可以从两个方面进行分类。从平均价格代替的对象来分类平均资产价期权（AveragePriceOptions）用平均价格I代替到期时标的资产价格S，比如平均资产价看涨期权的到期收益为max{I-X,0}。平均执行价期权（AverageStrikeOptions）用平均价格I代替执行价格X，平均执行价看涨期权的到期收益为max{S-I,0}。从平均价格的计算方法来分类平均价格是标的资产价格的算术平均值，即平均价格是标的资产价格的几何平均值，即121...nISSSn1123...nnISSSS2020/2/28142.1亚式期权（AsianOptions）上面的的两种平均价格事实上都是离散情况下的计算方法，如果假定标的资产价格连续变化的情形，类似的可以给出下面的两种积分形式的算术平均和几何平均价格，即和其中T1到T2为取平均值的时间区间。21211TTIStdtTT21211explnTTIStdtTT2020/2/28152.2障碍期权（BarrierOptions）障碍期权（又称挡板期权）的收益依赖于标的资产的价格在一段特定时间内是否达到了某个特定的水平(临界值)，这个临界值称为“障碍”水平。障碍期权一般可以分为两种类型敲出障碍期权（Knock-outOptions）当标的资产价格达到一个特定的障碍水平时，该期权作废（即期权合同终止，也称为被“敲出”或“触消”）；如果在规定时间内资产价格并未触及障碍水平，则仍然是一个标准期权。敲入障碍期权（Knock-inOptions）与敲出期权相反，只有资产价格在规定时间内达到障碍水平，该期权才得以存在（即期权合同开始生效，也称为“敲入”或“触发”），其收益与相应的标准期权相同；反之该期权作废。2020/2/28162.2障碍期权（BarrierOptions）依据障碍水平与标的资产初始价格的相对位置，可以将障碍期权分为向上期权（如果障碍水平高于初始价格）向下期权（如果障碍水平低于初始价格）根据期权是看涨还是看跌、敲出还是敲入、向上还是向下，就有八种不同组合的障碍期权，即向下敲出看涨期权(Down-and-outCall)向下敲出看跌期权(Down-and-outPut)向下敲入看涨期权(Down-and-inCall)向下敲入看跌期权(Down-and-inPut)向上敲出看涨期权((Up-and-outCall)向上敲出看跌期权(Up-and-outPut)向上敲入看涨期权(Up-and-inCall)向上敲入看跌期权(Up-and-inPut)2020/2/28172.2障碍期权（BarrierOptions）障碍期权受欢迎的主要原因在于它们通常比标准期权便宜，这对那些相信障碍水平不会（或会）被引发的投资者很有吸引力。而且，购买者可以使用它们来为某些非常特定的具有类似性质的现金流保值。通常来说，购买者对于市场方向都有相当精确的观点，如果他相信标的资产价格的上升运动在到期之前会有一定的限制，希望获得看涨期权的回报，但并不想为所有上升的可能性付款，那么他就有可能去购买一份向上敲出期权。由于上升运动受到限制，这个期权的价格就会比相应的普通看涨期权价格便宜。如果他是对的，那么这个障碍水平并不会被引发，他就可以得到他所想要的回报。障碍距离资产价格现价越近，期权被敲出的可能性越大，合约就越便宜。相反，一个敲入期权将会被某个相信障碍水平将会实现的人购买，这时期权同样也会比相应的普通期权便宜。2020/2/28182.3回望期权（LookbackOptions）回望期权的收益依赖于标的资产在某个确定的时段（称为回望时段）中达到的最大或最小价格（又称为回望价，为了方便，后面只讨论最大价格的情形，最小价格类似可得）。根据采用回望价格代替到期时标的资产价格还是执行价，回望期权可分为固定执行价期权（FixedStrike）计算期权到期收益时采用回望价M替代标的资产价格ST，显然买方希望期权的收益越大越好，因此对于最大价格的情形，买方会选择看涨期权，因此期权收益等于max{M-X,0}。浮动执行价期权（FloatingStrike）计算期权到期收益时采用回望价M替代执行价X，对于最大价格的情形，买方会选择看跌期权，此时期权收益等于max{M-ST,0}。固定执行价期权不一定被执行，而浮动执行价期权一定会被执行。回望期权很适合那些对资产价格波动幅度较有把握，但是对到期价格把握不大的投资者，它保证了持有者可以得到一段时期内的最优价格，因此价格也相对昂贵。2020/2/28192.4呐喊期权(ShoutOptions)呐喊期权是一个标准欧式期权加上一个额外的特征：在整个期权有效期内，买方可以向卖方“呐喊”一次，在期权到期结算时，买方可以选择两种收益中的最大者，一是标准欧式期权的收益，二是呐喊时刻期权的内在价值。假设一个看涨期权的执行价是50美元，买方在标的资产价格上升到60美元的时候呐喊了一次，如果到期时资产价格低于60，买方就可以获得10美元，如果到期资产价格高于60美元，就按到期价格计算买方的收益。因此，呐喊期权实际上和回望期权有点类似，但由于呐喊次数有限，相对要便宜一些。对于呐喊期权，可以把期权的收益表示为其中T是到期时刻，St是指呐喊时刻的资产价格。因此，可以把呐喊期权分成St-X的现值加上一个执行价为St的欧式期权，后者可以用B-S公式计算出来。max,0TttSSSX2020/2/282012.3多因素型期权2020/2/28213.1多因素型期权的特点多因素型期权（也称多资产型期权）的标的资产中往往包含两个或两个以上标的资产；因此在为这类期权定价时必须考虑标的资产之间的相关关系，相应地产生了Ito引理和布莱克-舒尔斯模型在多维世界中的扩展。2020/2/28223.2彩虹期权（