数字信号处理第3章

3.6用DFT计算线性卷积(),0,1,,1xnnN(),0,1,,1hnnM()()()()()kynxnhnxkhnk都是非周期1LNM如何用DFT来实现DFT有快速算法存在什么矛盾()0,1,,1xnnN()0,1,,1hnnM补零补零()0,1,,1xnnL()0,1,,1hnnLDFTDFT()0,1,,1XkkL()0,1,,1HkkL相乘()()()YkXkHkIDFT()()xnhn1LNM()yn()()()ynxnhn没有全部进入，如何实现卷积全部进入再卷积，又如何保证实时实现长序列卷积的计算：()xn()hn()yn()xn数字信号处理的优势是“实时实现”，即信号进来后，经处理后马上输出出去。然而：()()()()()kynxnhnxkhnk关键是将分段和卷积()hn()xn():():():1xnNhnMynNM将分成段，每段长()xnL/KNL1212(),(),,()(),(),,()1LLxnxnxnynynynKM(1)1LKMNLMLNMOverlap—addmethod叠接相加法Overlap—savemethod叠接舍去法自己看书及使用MATLAB文件来掌握另外：较短（FIR：长度在20～50之间，IIR:尽管无限长，但有限长度要小于50），可能很长，也不适宜直接卷积。()hn()xn一、分辨率分辨率问题是信号处理中的基本问题，包括频率分辨率和时间分辨率。频率分辨率：通过频域窗观察到的频率宽度；时间分辨率：通过时域窗观察到的时间宽度；3.7与DFT有关的几个问题窗函数的“宽度”越小越好！窗函数的“宽度”能随信号的变化自适应当调整！希望频率分辨率又可定义为：将信号中两个靠的很近的谱峰区分开的能力。频率分辨率：一是取决于信号的长度，二是取决于频谱分析的算法。时间和频率是描述信号的两个主要物理量，它们通过傅里叶变换相联系。FTDTFT对FT:设长度为，则的分辨率()dtAt2T/2T()sin(/2)/2DjTATT2T主瓣宽度反比于时间长度对DTFT:设抽样间隔为，则2N-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-20246(a)N=6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-505101520(b)N=18主瓣宽度反比于时间长度124kN用计算机分析和处理信号时，信号总是有限长，其长度即是矩形窗的宽度，要想分辨出处的两个频谱，数据长度必须满足：对矩形窗，，其他类型的窗函数，1k1k这为数据长度的选择提供了依据。12,4kN“物理分辨率”：取决于信号的有效长度。对DFT:210210()()0,1,11()()0,1,,1NjnkNnNjnkNkXkxnekNxnXkenNNsffN此为相邻两点的频率间隔，也是最大分辨“细胞”。若要分辨出处的两个谱峰，必须大于。()Xk12,ff12fff例：123123()sin(2)sin(2)sin(2)2Hz,2.02Hz,2.07Hz,10Hz,ssssxnfnffnffnfffff试确定将三个谱峰分开所需要的数据的长度。210.02Hz220.002sfffff在本例中，最小的由124N有42(0.002)1000N即要想分辨出这三个谱峰，数据的长度至少要大于1000，从DFT的角度看若令1010240.00976HzsffN1024N则下图，分别等于256和1024，可见，时无法分辨三个谱峰。256NN1.71.81.922.12.22.32.42.5050100150Hz1.71.81.922.12.22.32.42.50200400600Hz由信号的最高频率确定抽样频率；cfsf使用DFT的步骤：N根据分辨率的需要，确定数据长度；根据DFT的结果，再适当调整参数。要根据分辨率的要求确定模拟信号的长度,若可以无限长，则TTDFT和线性卷积是信号处理中两个最重要的基本运算，有快速算法，且二者是“相通”的。f不变，若增加,NN“计算分辨率”如何增加数据的点数NN1.提高抽样率；2.在数据后面补零。能提高分辨率吗不能提高分辨率不能提高分辨率，没有增加数据有效长度！例：123123()sin(2)sin(2)sin(2)2.67Hz,3.75Hz,6.75Hz,20Hz,ssssxnfnffnffnfffff令16N()jXe在正频率处应该有三根谱线。数据后补零的影响：为什么要补零？数据过短，补零后可起到一定的插值作用；使数据长度为2的整次幂，有利于FFT。051002468Hz051002468Hz05100246810Hz05100246810Hz16N（几根谱线？）补个零（？）N补7个零N补29个零N三个正弦二、DFT对FT的近似原：()axt频谱：()aXj抽样：频谱：()axn()jaXe截短：频谱：()xn是否是的准确抽样？()Xk()aXj()Xk只要满足抽样定理；做DFT时数据的长度保证所需的频率分辨率；则是的极好近似。()Xk()aXj为什么不是的准确抽样关键取决于信号时宽－带宽的不定原理：()Xk()aXj2221|()|tEtxtdt22212|(|EXd信号的时宽信号的带宽t信号时宽－带宽积12t(UncertaintyPrinciple)14tf或：所以，若信号是有限时宽的，那么在频域必然是无限带宽的，反之亦然。这一现象也可从加窗的角度来理解，即矩形窗的频谱是无限宽的。这一现象，来自傅立叶变换的性质：FT()xt()Xj()xat1()XjaaFT做DFT时，总不可避免的取有限长，“有限长”带来了对的近似。()Xk()aXj要求：1.由图3.7.3，搞清（3.7.8)~(3.7.14)式的含义；1()()sjaTaslsXeXjjlT()()()jjjaXeXeDe2()()0,1,,1jNkNXkXekN()()0,1,,1NlXkXklNkN()(),,saatnTxnxtn()()(),0,1,,1NaxnxndnnN()(),0,1,,1NlxnxnlNnN2.总结在导出DFT的过程中，有几个“周期延拓”？3.理解例3.7.4和例3.7.5;4.思考：什么情况下，是的准确抽样？()Xk()aXj00000()sin(2),2()sin(2)sin()(0)0,(1)0,()cos(2),2(0)1,(1)1,sssxtftffxnfnfnxxxtftffxx3.8关于正弦信号的抽样02sff窄带信号抽样定理：若信号的频谱仅在的范围内有值，我们称该信号为窄带信号。若保证，则可由恢复。~lhff2()shlfff()xn()xt()xt问题的关键是由于正弦信号是一类特殊的信号，特殊在它是单频率信号，带宽为零，所以要单独考虑。又：11122212()cos(2),20Hz()cos(2),100Hz()cos(220/80)cos(/2)()cos(2100/80)cos(/2)xtftfxtftfxnnnxnnn80Hzsf几点建议：1.抽样频率应为正弦频率的整数倍；2.抽样点数应包含整周期，数据长度最好是2的整次幂；3.每个周期最好是四个点或更多；4.数据后不要补零。按以上要求，对离散正弦信号做DFT得到的频谱正好是线谱，完全等同于连续正弦信号的线谱。22121112(0,0)(0,1)(0,1)(1,0)(1,1)(1,1)(,)(1,0)(1,1)(1,1)xxxNxxxNxnnxNxNxNN3.9二维傅立叶变换多用于图像处理：12121212121122121211221121112121200111200111212200(,)(,)(,)(,)(,)(,)NNnnnnNNjjjnjnnnNNnknkNNnnXzzxnnXeexnneeXkkxnnWWzz先对行作DFT，作次，对其中间结果，再对列作变换，作次。或反之。1N2N例：2－DHamming窗及其频谱时域窗频谱3.11Hilbert变换信号处理中重要的理论工具1t()Hj1()j22令：的解析（Analytic)信号解析信号的频谱只有正频率成分！显然，若对抽样，抽样频率可降低一倍。另外，做时－频分析时，可减轻正、负频率处的交叉干扰。()zt()ztHilbert反变换：例：若0()cos(2)xtAft可求出：0ˆ()sin(2)xtAft02ˆ()()()jftztxtjxtAe正、余弦函数构成一对Hilbert变换离散信号的Hilbert变换：Hilbert变换器的单位抽样响应如何有效的计算Hilbert变换？Step1.对做DFT,得：()xn(),0,,1XkkNStep2.令Step3.对做逆DFT,得()Zk()znStep4.由得Hilbert变换的性质：1.信号通过Hilbert变换器后，幅度谱不发生变化；但我们并不把Hilbert变换看作是正交变换2.信号和其Hilbert变换是正交的：3.卷积性质1122ˆ()()ˆ()()ˆ()()xtxtletxtxtxtxt121212:()()()ˆ:()()ˆ()()ifxtxtxtthenxtxtxtxtˆ()xt:()(),()00letxnxnxnfornHilbert变换关系实因果信号傅立叶变换的一些内部关系：实因果信号()()()jjjRIXeXejXe直角坐标()arg[()]()()()jjjjjjXeXeXeeXee极坐标()ln()arg[()]jjjXeXejXe取对数Hilbert变换关系()()jXexn的复倒谱()xnSpectrumCepstrum与本章有关的MATLAB文件fftfilt.m用叠接相加法实现卷积。格式是y=fftfilt(h,x)或y=fftfilt(h,x，N)记的长度为，的长度为。若采用第一个调用方式，程序自动地确定对分段的长度及做FFT的长度，显然，是最接近的2的整次幂。分的段数为。采用第二个调用方式，使用者可自己指定做FFT的长度。建议使用第一个调用方式。()xnxN()hnM()xn()LMNL/xNLNhilbert.m文件用来计算信号的解析信号。调用的格式是:y=hilbert(x),y的实部就是，虚部是的Hilbert变换。即()xnˆ()xn()xnˆ()()()ynxnjxn第3章作业：阅读论文：(从网络学堂上下载）“Tom,Dick,andMaryDiscovertheDFT”，IEEESignalProcessingMagazine,April1994写出读书报告（三周）