数字信号处理课件--数字信号处理9

2020/2/28数字信号处理1数字信号处理多媒体教学系统版权所有：yuning2003。3第2版第六章IIR数字滤波器的理论与设计（第2部分）数字信号处理2020/2/28数字信号处理2（1）通带特性：截止频率c，2211)(cjH，为奇数为偶数kkjH111)0(22。因为)(xCk在1x有K个零点和K个极大值，所以2)(cjH在通带内有K次波动。波动幅度只与有关：2221111RW，或dBRW)1log(1022。3、Chebyshev低通滤波器的特点：k=35.0k=45.0k=55.0k=65.02020/2/28数字信号处理3k=3k=4k=5k=61.01.01.01.0（2）其阻带特性是单调下降，下降速率主要取决于阶数k，阶数越高逼近误差越小。但所有的特性曲线都经过c，2211)(cjH点。波动系数对阻带特性也有一定的影响，越大下降速率也略大，但通带特性变坏。所以阻带特性主要由阶数k来决定。2020/2/28数字信号处理4（3）过渡带宽为cs：最小阻带衰耗指标sA应满足dBACjHscsks))(11log(10)(222或dBACscsk))(1log(1022。如果给定设计指标sA、s、c和，则可以由此关系式确定阶数k。类似的如果用通带最大波动值cA作为设计指标，即dBAc)1log(102。则得波动系数11010cA。k=33.0k=35.0k=65.0k=63.0cs211sA2020/2/28数字信号处理5（4）系统零、极点及系统函数：系统只在S有K阶零点。又称为全极点系统。极点kS均匀分布在一个椭圆的左半圆上。椭圆的短轴半径为a，长轴半径为b，)(1121kka，)(1121kkb。这里：)11(2。极点kkkjyxz，其中：]2)12(sin[kNaxk，]2)12(cos[kNbyk可得：)(1)())((1)(110cckccSkSSSQssssH，其中kiiiksbsQ0)(为K阶多项式。说明：*可以证明Chebyshev滤波器特性是最佳的全极点滤波器，在满足给定的设计指标（通带和阻带逼近误差容限）中，它具有最低的阶数k。或者说，在相同的k阶全极点滤波器中，Chebyshev滤波器特性对理想特性的逼近误差最小。*如果需要更加陡的过渡带衰耗特性，则需要在阻带截止频率附近设置靠近单位圆的零点。如椭圆滤波器（Cauer滤波器）等。2020/2/28数字信号处理64、Chebyshev滤波器的设计：根据逼近要求查特性曲线或计算求取阶数k和波动系数ε，再查表求得H(s)。（1）设计指标：Chebyshev滤波器逼近函数有两个参数：阶数K和波动系数。它们可通过给定的2个特征频率点c，s的参数指标cA，sA来确定。（即通频带波动和阻带衰耗值。）（2）计算参数：由设计指标和逼近函数可导出方程：1101.0cA，dBAc5.0，3493.0；dBAc1，5088.0；dBAc2，7648.0dBACjHscsks))(11log(10)(222即：21.02/)110()(sAcskC解之得：])1([log])1([log10210ssggK其中：21.0/)110(sAg，css为归一化阻带截止频率。也可以通过设计曲线（见P164图6.8，6.9及参考资料）确定参数和k。2020/2/28数字信号处理7（3）求模拟滤波器系统函数：根据Chebyshev滤波器逼近函数的参数：阶数K和波动系数查表得：)()(0cSkQbsH，其中kiiiksbsQ0)(。（系数ib见P136，表6.2。更详细的设计表格可见参考资料）说明：*为了便于展开阻带特性，设计特性曲线纵坐标用对数刻度，单位dB（分贝）。当0时，为偶数为奇数kkjH)1(1)0(12。c时，211)(cjH，只与波动系数有关。*设计指标：dBjHjHAcc])1([log20])()([log10121020max210dBjHjHjHAsss])([log10])()([log1021020max2102020/2/28数字信号处理8cs|)(|jHK=4ε=0.3493K=5ε=0.3493K=6ε=0.3493使用对数坐标可扩展阻带特性。（ε=0.3493为通带波动0.5dB的ε值）2020/2/28数字信号处理9K=4ε=0.3493K=5ε=0.3493K=6ε=0.3493dBjH|)(|log20cs2020/2/28数字信号处理10例：试设计一Chebyshev低通滤波器，要求在通带波动不大于0.5dB。通带截止频率为40red/s。在52red/s处的衰减不低于dB20。解：设计指标为sredc/40，dBAc5.0)11log(102；得：3493.01101.0cA设计指标sreds/52，dBAs20得：589.8/)110(21.0sAg，3.1css带入计算式：634.4])1([log])1([log10210ssggK，取5K查表得：54320)()(1725.1)(937.1)(3096.1)(75252.017892.017892.0)()(ccccccSSSSSSkQbsH2020/2/28数字信号处理11带入sredc/40得低通滤波器系统函数为：58463423110458.510560.210692.110575.410051.111)(ssssssHK=4ε=0.3493K=5ε=0.3493K=6ε=0.3493sredc/40sAcA)(jHsreds/522020/2/28数字信号处理12)(jHC型k=3,ε=0.3B型k=3C型k=6,ε=0.3B型k=6c6.3.4两类滤波器特性比较：1、对理想特性的逼近：同样阶次k，C型滤波器优于B型滤波器。特别在通带截止频率附近。2020/2/28数字信号处理13)(jHC型k=3,ε=0.9976B型k=3C型k=6,ε=0.9976B型k=6c2、阻带特性：两类滤波器的阻带特性都是单调下降。同样阶次k和通带波动幅度时，C型滤波器优于B型滤波器。特别在通带截止频率附近。2020/2/28数字信号处理14)(jHC型k=3,ε=0.1B型k=3C型k=6,ε=0.1B型k=6c3、低频通带特性：B型滤波器在低频具有最佳平直特性。如果用C型滤波器来实现低频的平直特性要求，则会大大破坏阻带特性。在要求低频平直特性的应用中，B型滤波器优于C型滤波器。2020/2/28数字信号处理15所以在实际应用中是选用B型或C型逼近函数来实现滤波器，要根据具体特性要求。如要求离开截止频率比较远的低频特性较好，则可选用B型滤波器。如要求整个通频带的特性较好（特别是截止频率附近），则可选用C型滤波器。如果需要更好的逼近特性，需要采用更复杂的逼近函数，如椭圆滤波器（雅可比逼近函数，或称为Cauer考尔滤波器）。Cauer考尔滤波器：（椭圆滤波器）平方幅度函数：)(11|)(|222ckJjH其中：)(xJk为k阶雅可比椭圆函数，为通带波纹系数。)()()(ccSkSkQGAsH，其中kiiiksbsQ0)(，2/022)()(KiikassG椭圆滤波器在通带与C型滤波器类似有K个极点，而在阻带截止频率附近的有K个零点。2020/2/28数字信号处理16所以，椭圆滤波器的幅度频率特性在通带与C型滤波器类似有dBRW)1log(1022的波动；而在阻带也有波动。在截止频率附近有比较陡峭的过渡带。c|)(|jHsK=4ε=0.3493K=5ε=0.3493K=6ε=0.34932020/2/28数字信号处理176.4模拟滤波器的数字仿真——一种数字滤波器的实现方法：模拟滤波器的数字仿真就是设计出一个数字滤波器，当它的输入为x(t)的采样序列x(n)时，其输出为模拟滤波器的相应输出y(t)的采样序列。即：)()(tytxTa，有：)()(nynxTd。如果模拟变换Ta满足滤波要求，则数字变换Td也可以满足滤波处理的要求。关键是确定从模拟变换Ta得到数字变换Td的方法。6.4.1时域数字仿真使数字滤波器的冲击响应h(n)是模拟滤波器的冲击响应h(t)的采样。设模拟滤波器的冲击响应为)(tha，将数字滤波器的冲击响应序列取为：nTtathTnh)()(。假使采样间隔T满足采样定理，则nTttxnx|)()(与)(tx信息是等同的。)()()(thtxtya经过采样处理得：)()()()()()()()()(|)()(|)(000nynhnxkhknxkThkTtTxdhtxthtxtykkaanTtanTta2020/2/28数字信号处理18根据以上分析，得到时域仿真的一种方法——冲击响应不变法：先设计满足滤波特性要求的模拟滤波器，其冲击响应为)()(thtaTa，将数字滤波器的冲击响应取为nTtthTnha)()(。为了分析冲击响应不变法的变换情况，从模拟与数字滤波器的频域特性来看：对于模拟滤波器：)()(jHthaFa。)(nh是)(thTa的抽样。)]([)(skajkjHeH为频域特性的周期化。模拟滤波器的时域数字仿真——数字滤波器的冲击响应)(nh是模拟滤波器的冲击响应)(tha的抽样。则数字滤波器的频率特性)(jeH是模拟滤波器的频率特性)(jHa的周期平移和叠加。2020/2/28数字信号处理19时域数字仿真（冲击响应不变）得到的幅度频率特性（低通，低混叠误差）2/s2/sss|)(|jdeH|)(|jHa2/s2/s2020/2/28数字信号处理20时域数字仿真（冲击响应不变）的幅度频率特性（低通，有较大混叠误差）2/s2/sss|)(|jdeH|)(|jHa2/s2/s2020/2/28数字信号处理21时域数字仿真（冲击响应不变）得到的幅度频率特性（带通，低混叠误差）2/s2/sss|)(|jdeH|)(|jHa2/s2/s2/s2/sss|)(|jdeH|)(|jHa2/s2/s2020/2/28数字信号处理22时域数字仿真（冲击响应不变）得到的幅度频率特性（高通、带阻）2/s|)(|jHa2/s2/s|)(|jHa2/s2020/2/28数字信号处理23类似的时域变换方法还有阶跃响应不变法，使数字滤波器的阶跃响应和模拟原型滤波器的阶跃响应相同。设计效果与冲击响应不变法相似。只有用于对于时域特性有特别要求的滤波系统。（具体设计方法参见有关参考资料）冲击响应不变法特点：*为了满足采样定理，要求模拟滤波器的特性满足：20)(scajH。如果满足采样定理，则数字滤波器特性在主周期2/2/ss中与模拟滤波器特性相同，即都满足滤波处理要求。在数字滤波器特性主周期与模拟滤波器特性之间，冲击响应不变法是一种线性频率坐标变换。*但实际模拟滤波器特性都不能满足采样定理，所以总有混叠误差存在。对于低通、带通滤波器可以通过合理的设计使混叠误差满足应用要求。*对于高通、带阻等不能得到满足采样定理的滤波特性，不能使用冲击不变法来进行数字仿真的。这时可以