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§2非线性介质及磁滞损耗前面我们讨论的对象为线性无损耗介质，本节讨论非线性介质的静磁能及磁滞损耗问题。为简单起见，我们只讨论螺绕环情况。设螺绕环的截面积为S，长度为，线圈匝数为N，电流为I，内部填满磁化强度为的磁介质。设在dt时间内螺绕环内的磁感应强度由B增至B+dB，则穿过线圈的总磁通量为：与此同时，电源克服感应电动势所作的元功为：其中再次利用了，而和lMrNSdBNdd==φψNSIdBINdIddtdtdIIdtdA====−=φψψε'dqdA'ε−=dtdqi=dtdψε−=下面由安培环路定理来求出磁场强度为和电流强度为I之间的关系。由可得所以，其中为螺绕环的体积。考虑单位体积的螺绕环介质，电源所作的元功为：（这是普遍表达式）利用，可得Hr∫==⋅LNIHlldHrrNHlI=VHdBHlSdBNSIdBdA==='SlV=HdBVdAda==''BdHdarr⋅=⇒')(0MHBrrr+=μ)(0MdHdBdrrr+=μ所以右边第1项，为宏观磁能密度的变化,第2项为磁场对单位体积磁介质所作的磁化功。因此上式的物理意义为：电源所作的功一部分用来增加宏观磁能，另一部分为对磁介质作的磁化功。要分析磁化功的具体形式及其后果，必须考虑介质的磁化规律，即的函数关系。下面来具体分析。MdHHdMdHHdHBdHdarrrrrrrr⋅+=⋅+⋅=⋅=02000)2('μμμμ)2(20HdμMdHrr⋅0μHMrr和讨论)(0MdHdBdrrr+=μ1.线性(无损耗)磁介质这时所以因此所以式中，通常称作磁化能密度。上式说明磁化功全部转换为介质的磁化能HMmrrχ=HdMdmrrχ=HdMHdHHdHMdHmmrrrrrrrr⋅=⋅=⋅=⋅0000)()(μχμχμμ001()'2HdMdHMdaμμ⋅=⋅=rrrr磁化01'2HMaμ⋅=rr磁化磁化'da01()2dHMμ⋅rr于是物理意义为电源作功，在线性非损耗介质情况下，能全部转化为螺绕环的静磁能。不过请注意，在这儿的磁能密度等于宏观磁能密度和磁化能密度之和。220000200001'()()()22211()[()][()]22221()2mdadHHdMdHdHMdHHMdHHMdHHMdHBdμμμμμμμμω=+⋅=+⋅=+⋅=⋅+=⋅+=⋅=rrrrrrrrrrrrrr202HμMHrr⋅20μ200'()2dadHHdMμμ=+⋅rr001()2HdMdHMμμ⋅=⋅rrrr2.非线性磁介质对非线性磁介质不再有上述简单结论。下面我们以铁磁体为例来进行讨论。在前面我们已经介绍了铁磁体M和H的关系是非单值的，一定的H所对应的M值依赖于磁化过程。当磁场在H0和-H0之间反复变化时，铁磁体的磁化状态将沿磁滞回线周期变化。上述磁化过程是不可逆过程，图中用箭头标出了过程进行的方向。回顾：非线性电介质及电滞损耗对非线性有损耗电介质，显然不可能象在线性无损耗电介质中那样，极化功全部转换成电介质的极化能。也就是说，不可能将电源作功全部转化为静电能，这时极化能密度的表达式将会发生变化。在极化功中只有一部分转化为极化能，另一部分则转换为热量。下面以铁电体为例简单叙述一下。在铁电体中，式中右式的沿电滞回线的闭合回路积分正好等于电滞回线所包围的“面积”。这部分能量既不改变电场，又不改变电介质的极化状态，而是转化为热量，使电介质发热。这部分因电滞现象而消耗的能量，称为电滞损耗，类似于在铁磁体中也会存在磁滞损耗一样。∫∫==EdPdaa''类似于电介质中的极化功一样，我们也可以计算当从某点A出发，沿着磁滞回线循环一周到A时，电源对单位体积所作的功为：等式右边沿磁滞回线的闭路积分正好等于磁滞回线所围的“面积”。这部分功不改变磁场强度和介质的磁化状态，它所传递的能量将转化为热量。这部分因磁滞现象而损耗的能量称为磁滞损耗。强调：在交流电路中，电感元件铁芯的磁滞损耗是有害的，应当尽量使之减少，并采取措施防止铁芯过热。3.磁化率张量类似于极化率张量的讨论，此处从略。∫∫==HdMdaa0''μ磁化磁化0'HdMdaμ⋅=rr磁化回顾：各向异性电介质典型材料如石英，不平行，关系极为复杂。在直角坐标系中，极化率有九个量，通常称它为极化率张量。EPrr与()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛zyxezyxEEEPPPχ()()()()()()()()()zzzeyzyexzxezzyzeyyyexyxeyzxzeyxyexxxexEEEPEEEPEEEPχχχχχχχχχ++=++=++=§3.利用磁能求磁力一般来说，求静磁力的方法有2种：(1)已知外磁场和电流的分布，用安培力公式或洛伦兹力公式计算，即：(2)利用静磁能求，即采用虚功原理法。这部分内容与电介质中的有关内容类似，我们照样可以采用类比法去学。BrJr∫∫∫∫∫∫×=×=×=×=SLVBlIddSBidVBJBvqFrrrrrrrrr一.虚功原理考虑N个载流线圈构成的电流系统，并考虑其中一个载流线圈所受的磁力。设想该载流线圈有一虚位移，磁力作功为：下面来具体讨论两种情况。1.维持电流不变，电源作功这时对应的是非孤立系统，因为要想维持各线圈中电流不变，则需要外部电源反抗感应电动势作功，这部分功记作。设因受力载流线圈作虚位移导致第i个线圈的磁通量变化，则该线圈中的反抗感应电动势作功应为：FrrrδzFyFxFrFAzyxδδδδδ++=⋅=rr'AδrrδiδφiiiiiiiIdtdtdIdtIAδφφεδ==−='于是电源所作的总功为：这时系统磁能的变化为：与比较可得：该式表示维持所有载流线圈电流不变，电源所作的功正好是系统磁能变化的两倍。而系统磁能的变化又可以表示为：该式表示电源作功使系统磁能增加，这正好符合前面的分析，而磁能作功则使系统磁能减少，这也是符合能量守恒的。即则有∑∑====NiiiNiiIAA11''δφδδ∑==NiiiImIW121)(δφδ'AδImWA)(2'δδ=AAWImδδδ−=')('AδAδ0'=AδImWA)(δδ−=所以物理意义：当维持各载流线圈电流不变时，磁力作功等于系统磁能的增加，原因就是因为外界即电源同时参与作功，且作功量正好是磁力作功的两倍。利用和可得：或AWAAWImImδδδδδ−=−=)(2')(AWImδδ=⇒)(rFArrδδ⋅=AWImδδ=)(ImWF)(∇=rImxxWF⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂=ImyyWF⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂=ImzzWF⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂=(1)上式中脚标I表示在求的梯度或偏导数时，将中的看作常数；(2)由上式可以看出，只要给定静磁能的表达式，则可由此求出磁力或它的分量；由此大家可以看出由磁能求磁力的方便之处,即可以不考虑在受力载流线圈实际位移过程中系统各线圈的电流是否变化或怎样变化。(3)当用角位移代替位移时，则得磁力矩公式：mWmWiImWFrzyxFFF、、δθrrδImWL⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂=θθ讨论ImWF)(∇=r2.维持磁通不变下面推出另一个等效的由磁能求磁力的公式。假定在受力线圈虚位移过程中，维持各线圈的磁通量不变，这样在线圈中不会产生感应电动势，也就是说，这时电源将不参与作功，磁力作功正好等于系统的磁能的减少。即：。同样我们可得：或式中下标表示在求的梯度或偏导数时，表达式中的应视作常数。当用角位移代替位移时，有磁力矩公式：φAδAWmδδφ−=)(φ)(mWF∇−=rφ⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−=xWFmxφ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−=yWFmyφ⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−=zWFmzφmWmWiφδθrrδφθθ⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−=mWL二．小结：(1)或和或不仅适合于无磁介质时的情况，对有线性无损耗磁介质存在时，上面诸式也成立。只是注意此时系统的磁能中应包括介质的磁化能。上一节我们已经得到磁化能密度为。ImWF)(∇=rImxxWF⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂=ImyyWF⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂=ImzzWF⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂=φ)(mWF∇−=rφ⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−=xWFmxφ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−=yWFmyφ⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−=zWFmzmWMHrr⋅20μ(2)当研究载流导线在外磁场中受到的磁力时，可用载流导线在外磁场中的静磁能代替，而不必计入载流线圈和外磁场本身的自能。前面已经得出结论：这是N个载流线圈置于一外磁场中，系统在外磁场中的静磁能。当外磁场为均匀磁场时，其中是整个系统的磁矩。这个结果后面还要用。mW∑∫∫=⋅=NiSiimiSdrBIW1)(rrr)(irBrrBmSIBWiNiiimrrrr⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅=∑=1imr(3)静磁能与静电能的比较一般：和和对应；和对应。其中I为电流，为磁通量；u为电势，Q为电荷。由上式可以看出I与u对应；对应。),(φIWWmm=),(QuWWee=ImmxxWF⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂=ueexxWF⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂=φ⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−=xWFmmxφQeexxWF⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−=Q与φ三．例题例二．具有恒定的高磁导率的马蹄形磁介质，与一磁导率相同的条形磁介质组成一磁路，它们的横截面积为矩形，面积为A，长度为。马蹄形磁介质上绕有N匝导线，通以恒定电流I，求马蹄形与条形磁介质之间的吸力。解：因为假定I不变，则下面关键在于求。rμlΨ=IWm21ImWF)(∇=rΨArμrμ设马蹄形磁介质与条形磁介质之间有一小间隙x，间隙内磁场强度为，磁介质内磁场强度为。利用安培环路定理可得：利用磁路定理的有关结论，即沿磁力线管的磁通量等于常量。由磁通连续性可得：因此有这是有间隙x时的磁感应强度。总磁通量gHrmHrxHlHNIgm2+=gmrHH00μμμ=gmrHH=⇒μxHlHNImrmμ2+=xlNIHrmμ2+=⇒xlNIHBrrmrmμμμμμ200+==xlIANANBNrrmμμμφ220+===Ψ所以欲求马蹄形磁介质与条形磁介质之间的吸力，只需对求关于x的导数，并令x=0即可。即：令这是无间隙时的磁感应强度xlIANIWrrmμμμ22121220+=Ψ=mW222200222200)2(lIANxlIANxWFrxrrxmmxμμμμμ−=+−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂===lNIBrμμ00=202rrANIlxμμμΨ=+02rmrNIBlxμμμ=+则：其中负号表示为吸引力。即当条形磁介质与马蹄形磁介质密接时，相互吸引力为：（1）这个结果表示由于去掉了气隙层，磁感应强度增加，且磁阻减少。mmxFABF=−=020μ02022220μμμABlIANr=mBB0讨论lNIBrμμ00=02rmrNIBlxμμμ=+（2）前面我们已经推得，似乎面积A越大，Fm越大，其实不然。我们可以换个角度来考虑。固定NI不变，从磁阻的角度来看，iriimSlR0μμ=()ABRRNImm021=+=Φ(),210ARRNIBmm+=∴mmmRRR==21若ABARNIBm1200∝⇒=则此乃两矩形截面积中的磁感应强度。200mxBAFμ=−即这时面积A越小，Fm越大。但应注意A也不能太小。综合起来看，A有一定的取值范围。（3）利用公式也可以求出一样的结果。一般来说，我们选不变。AABFm1020∝−=∴μΦ⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−=xWFmmmIr或200mxBAFμ=−012mNIBRAA=∝例三．从磁能出发，求外磁场作用在载流线圈上的力和力矩。解：在第六章第1节中，我们已经得到载流线圈在外磁场中的受力和力矩为：下面我们从另一个角度来推导上述公式。设线圈尺寸很小，其磁矩为，外磁场为，则由（8-3-4）式知其磁能为：()BmLBmFrrrrrr×=∇⋅=mrBrθcosmBBmWm=⋅=rrBmSIBWrrrr⋅=⋅=)(212因为，固定I不变，则相当于固定的大小不变，由于假设虚位移为乃平动位移，所以的方向也不变，于是我们有：式中下标表示在进行梯度运算时将看成是常矢量。利用矢量微分公式有：其中利用了P（490）（5-37）式，考虑不变。因为为外场，线圈很小，所以其在线圈所在处为常矢量，因此有：所以：这个公式正是上面得到的式子。SIm