前言-5.1预备知识

高等数学（A类）(下册)刘淑君2010.3.1-2010.6.18本学期主要内容11(())nniiiiiaxfx-0.4-0.20.20.4-0.75-0.5-0.250.250.50.75-101-101-101-101-10111(())iiiiiaxfx本学期主要内容多元函数微分学及其应用多元数量函数的积分学及其应用向量函数的积分复变函数的积分常数项级数函数项级数多元函数微积分学无穷级数课前预习－专心上课－及时复习－独立作业－解决疑难－系统小结基本学习方法：提倡:独立钻研、勤于思考、敢于提问、相互切磋、主动培养学习能力第一节预备知识第二节极限与连续第三节偏导数与全微分第四节微分运算法则第五节方向导数与梯度第六节多元函数微分学的几何应用第七节多元函数的Taylor公式与极值*第八节n元m维向量值函数的微分法第九节复变函数的导数与解析函数第五章多元函数微分学及其应用设),(000yxP是xoy平面上的一个点，是某一正数，与点),(000yxP距离小于的点),(yxP的全体，称为点0P的邻域，记为),(0PU，（1）邻域0P),(0PU||0PPP.)()(|),(2020yyxxyx1.1n元(实)函数00(,)()ooUPUP去心邻域：或（2）区域.)(的内点为则称，的某一邻域一个点．如果存在点是平面上的是平面上的一个点集，设EPEPUPPE.EE的内点属于EP.为开集则称的点都是内点，如果点集EE}41),{(221yxyxE例如:即为开集．PEEPEEPE如果点的任一个去心邻域内既有属于的点，也有不属于的点（点本身可以属于，也可以不属于），则称为的边界点．EP的边界．的边界点的全体称为EEDDDD设是点集，如果对于内的任意两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于，则称点集是连通的.连通的开集称为区域或开区域．}.41|),{(22yxyx例如：xyo开区域连同它的边界一起称为闭区域.}.41|),{(22yxyx例如：xyo}0|),{(yxyx有界闭区域；无界开区域．xyo例如，则称为无界点集．为有界点集，否成立，则称对一切即，不超过间的距离与某一定点，使一切点如果存在正数对于点集EEPKAPKAPAEPKE}41|),{(22yxyx（3）聚点设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点，如果点P的任何一个去心邻域内总有点属于点集E，则称P为E的聚点.内点一定是聚点；注：边界点可能是聚点；}10|),{(22yxyx例(0,0)既是边界点也是聚点．点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．}10|),{(22yxyx例如,(0,0)是聚点但不属于集合．}1|),{(22yxyx例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．（4）n维空间设n为取定的一个自然数，我们称n元数组),,,(21nxxx的全体为n维空间，而每个n元数组),,,(21nxxx称为n维空间中的一个点，数ix称为该点的第i个坐标.n维空间的记号为说明：;nRn维空间中两点间距离公式),,,,(21nxxxP),,,,(21nyyyQ.)()()(||2222211nnxyxyxyPQn维空间中邻域、区域等概念nRPPPPPU,||),(00特殊地当时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．3,2,1n内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．邻域：设两点为设D是平面上的一个点集，如果对于每个点DyxP),(，变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z是变量yx,的二元函数，记为),(yxfz（或记为)(Pfz）.（5）二元函数的定义当2n时，n元函数统称为多元函数.多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念.类似地可定义三元及三元以上函数．例1求的定义域．222)3arcsin(),(yxyxyxf解013222yxyx22242yxyx所求定义域为}.,42|),{(222yxyxyxD（6）二元函数的图形),(yxfz设函数),(yxfz的定义域为D，对于任意取定的DyxP),(，对应的函数值为),(yxfz，这样，以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标在空间就确定一点),,(zyxM，当x取遍D上一切点时，得一个空间点集}),(),,(|),,{(Dyxyxfzzyx，这个点集称为二元函数的图形.（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面.xyzoxyzsin例如,图形如右图.2222azyx例如,右图球面.}.),{(222ayxyxD222yxaz.222yxaz单值分支:})({(E),E)(:R,),(,),(,,R:1m2121n值域定义域记为的映射，是则称与之对应有唯一的通过如果对于任一为一对应关系设定义E,XXfYYfXfYEfy,...,yyYfEx,...,xxXfEmn个分量。的第为，维向量值函数元是也称。，，ifx,,xxfmnfffffx,,xxfyx,,xxfyx,,xxfynimnmmnn)(),,,()()()(212121212221111.2n元m维向量值函数1121221212(,,,)(,,,)(,,,)nnmmnfxxxyyfxxxyyfxxxn元m维向量值函数的向量表示：例：空间曲线（参数方程）()(),[,]()xxtyyttRzzt一元三维向量值函数一个复变函数二个二元实函数0),(,),(,)(22yxvyxyxuzzfw例如：xyyxvyxyxuixyyxiyxzzfw2),(,),(,2)()(222222),(),()(:yxivyxuzfwuvxyivuwiyxzf平面上的点集平面上的点集1.3复变函数1,:,ABfABf若在定义中，令点集是两个非空复数集，则称是复变函数：(),wfzz对于复变函数若对于的一个值，()wwfz对应唯一的一个值，则称为单值函数;()wwfz若对应多个值，则称为多值函数.复变函数的几何意义：*:()()zwfAzAw平面与平面之间的映射：平面点集平面点集*000000**(),()wfzAfAwzzwAAAA称为的，称为的称为的，称为像原像像的原像*1*,())(.)(AwwfzzAAwfzzfw若中每一点通过只有一个点与之对应，则在也定义了一个单值函数，记为，称为函数反函数的