自动控制(1106)

第三章线性系统的时域分析•线性系统的时域分析概述•前已指出，分析控制系统的第一步是建立系统的数学模型，然后即可采用各种方法对系统进行分析或设计。常用的有时域分析法、根轨迹法、频域分析法。•由于多数控制系统是以时间作为独立变量，所以人们往往关心状态及输出对时间的响应。对系统外施一给定输入信号，通过研究系统的时间响应来评价系统的性能，这就是控制系统的时域分析。3.1线性系统时间响应的性能指标•一、控制系统的典型输入控制系统的输入信号具有随机的性质，往往不能用分析的方法准确地表示出来。但对同一个系统，各种不同的输入所引起的过渡过程所表征的系统特性在本质上是一致的，故在比较两个系统的特性时，采用相同的输入是方便的。单位脉冲函数：δ(t)=0t≠0∞t=0L[δ(t)]=1单位阶跃函数:1(t)=L[1(t)]=—0t01t≥01S单位斜坡函数:r(t)=L[r(t)]=—0t0tt≥01S2正弦函数:r(t)=L[r(t)]=——t21(t)t≥0121S3单位匀加速函数:()sinrtAt22(sin)ALAts二、分析系统动态特性的两种方法根据输入函数的不同——时域分析、频域分析。1、时域分析法：在时间域中对系统在前几种典型函数作用下的响应过程的分析。2、频域分析法：在频率域中对系统在正弦信号输入下的响应过程的分析。三、控制系统的时域性能指标评价系统时域性能的标准：稳定性、稳态特性、暂态特性。1)稳定性若控制系统在初始条件或扰动影响下，其瞬态响应随着时间的推移而逐渐衰减并趋于零，则称系统稳定；反之，不稳定。2)动态过程：也称过渡过程或瞬态过程，指系统在典型输入信号作用下，其输出量从初始状态到最终状态的过程。3)稳态过程：也称系统的稳态响应，指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷大时，其输出量的表现形式。•控制系统能在实际中应用，其首要条件是保证系统具有稳定性•控制系统在典型输入信号作用下的性能指标由动态性能指标和稳态性能指标两部分组成1、稳态性能误差和稳态误差控制系统在输入信号的作用下，其输出量中包含瞬态分量和稳态分量两个分量。对于稳定的系统，瞬态分量随时间的推移而逐渐消失，稳态分量则从输入信号加入的瞬时起就始终存在，其表现方式就是稳态响应。稳态响应反映了控制系统跟踪输入信号或抑制扰动信号的能力和精度。这种能力或精度称为系统的稳态性能。一个系统的稳态性能是以系统响应某些典型输入信号时的稳态误差来评价的。实际输出值与期望输出值之间的误差——系统的稳态误差。ess=r(t)–c(∞)C(t)r(t)0tr(t)c(∞)ess2、暂态（动态）性能反应系统响应快速性、平稳性，用最大超调量百分比，过渡过程时间参量来定量评价。（1）过渡过程时间参量1)上升时间tr：指系统响应从零第一次上升到稳态值所需的时间（主要针对有振荡的系统）。有时取系统输出由10%增长，第一次到达稳定值90%所需时间tr2)峰值时间tp:0第一个峰值3)延迟时间td:系统输出由0增长,第一次到达稳定值50%所需的时间td4)调节时间ts:整个过程所经历的时间,取5%(有时也取2%)作为误差带.相应曲线达到并不再超出误差带的最小时间（2）超调量：指响应的最大偏离量与终值的差与终值比的百分数，即若，则响应无超调。超调量也称为最大超调量，或百分比超调量衡量控制系统在暂态过程中偏离期望值的程度和系统相对稳定性的标准.()()%100%()phthh%()h()h()pht()()phth时间tr上升峰值时间tpAB超调量σ%=AB100%调节时间ts动态性能指标定义1延迟时间td上升时间tr调节时间ts动态性能指标定义2trtpABσ%=100%BAts动态性能指标定义33.2一阶系统的时域分析由一阶微分方程描述的系统即为一阶系统，一些控制元、部件及简单系统如R-C网络，发电机，空气加热器，液面控制系统等。一、一阶系统的数学模型一阶系统的微分方程c(t)—输出量r(t)—输入量()()()dctTctrtdt一阶系统的传递函数为一阶系统的方框图如下()1()()1CssRsTs3.2.1一阶系统的单位阶跃响应1、响应特性：单位阶跃响应的拉氏变换为：R(s)=1/sC(s)=(s)*R(s)=1/[s(Ts+1)]取C(s)的拉氏反变换得：h(t)=L[1/s(Ts+1)]=L[1/s-1/(s+1/T)]h(t)=1-e(t≥0)-1-1-t/T一阶系统的单位阶跃响应曲线可见，一阶系统的单位阶跃响应如果以初始速度等速上升至稳态值1，所需要的时间应恰好为T。2、时间常数T是表征响应特性的唯一参数，它与输出值有确定的对应关系。t=Th(T)=0.632t=2Th(2T)=0.865t=3Th(3T)=0.950t=4Th(4T)=0.982可以用实验方法根据这些值鉴别和确定被测系统是否为一阶系统。3、性能指标1）暂态性能由于一阶系统的阶跃响应没有超调量，所以性能指标主要是调节时间ts，它表征系统过渡过程的快慢。由于t=3T时，输出响应可达稳定值的95%；t=4T时，输出响应可达稳定值的98%，故一般取：ts=3T（s）（对应误差带为5%）ts=4T（s）（对应误差带为2%）显然，系统的时间常数T越小，调节时间ts就越小，响应过程的快速性也好。2）、稳态误差由式h(t)=1-eess=1-h(∞)=1-1=0-t/T3.2.2一阶系统的单位脉冲响应单位脉冲响应的拉氏变换为单位脉冲响应为()11()()()1RsCssRsTs1/1()()(0)tTCtLCsetT一阶系统的单位脉冲响应曲线如图3.2.3一阶系统的单位斜坡响应c(t)=L[1/s(Ts+1)]=L[1/s-T/s+T/(s+1/T)]1、响应特性R(s)=1/s2C(s)=[1/s2(Ts+1)]取C（s）的拉氏反变换，得：--1--122c(t)=（t–T）+T*e(t≥0)=Css+Ctt式中Css=（t-T）为响应的稳态分量，Ctt=T*e为响应的瞬态分量，当时间t∞时，Ctt衰减到0。响应的初始速度为：-t/T-t/T/00()10tTttdctedt2、性能指标稳态误差：ess=lim[t-c(t)]=lim[t-(t-T+Te)]=T-t/Ttt∞∞一阶系统的单位斜坡响应曲线图由特性图可看出，一阶系统在斜坡输入下的稳态输出与输入的斜率相等，只是滞后一个时间T或说存在一个T的跟踪滞后误差。该误差数值与时间常数T的数值相等。因此，时间常数T越小，则响应越快。稳态误差越小，输出量对输入信号的滞后时间也越小。本节总结:比较一阶系统的单位阶跃响应和一阶系统的单位斜坡响应曲线，可以发现:在阶跃响应曲线中，输出量h（t）与输入信号之间的位置误差随时间增长而减小，最终趋于0；而斜坡响应曲线中，初始状态位置误差最小，随时间增长，误差逐渐增大，最后趋于常数T。一阶系统跟随匀速输入信号所带来的原理上的位置误差，只能通过减小时间常数T来减小，不能最终消除它。