自动控制原理 第9章

第九章状态空间系统响应、可控性与可观性第九章状态空间系统响应、可控性与可观性9.1状态空间描述的基本概念9.2状态空间表达式的建立9.3线性定常系统的响应9.4状态转移矩阵9.5线性离散系统的响应9.6可控性和可观性9.7线性定常系统的线性变换9.8对偶原理9.9线性定常系统的结构分解9.10线性系统状态空间描述的MATLAB实现小结习题第九章状态空间系统响应、可控性与可观性9.1状态空间描述的基本概念状态指系统的运动状态。设想有一个质点作直线运动，这个系统的状态就是质点每一个时刻的位置和速度。状态变量指足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量。若知道这些变量在任何初始时刻t0的值和t≥t0时系统所加的输入函数，便可完全确定在任何t＞t0时刻的状态。第九章状态空间系统响应、可控性与可观性一个用n阶微分方程描述的系统，有n个独立变量，当这n个独立变量的时间响应都求得时，系统的运动状态也就完全被揭示了。因此可以说，系统的状态变量就是n阶系统的n个独立变量。需要指出的是，对同一个系统，选取哪些变量作为状态变量并不是唯一的，但这些变量必须是互相独立的，且个数等于微分方程的阶数。对于一般物理系统，微分方程的阶数唯一地取决于系统中独立储能元件的个数。因此，系统状态变量的个数又可以说等于系统中独立储能元件的个数。第九章状态空间系统响应、可控性与可观性【例9-1】在图9-1所示的电路中，有两个受控量i(t)，u2(t)，两个储能元件电感和电容，这个电路可用二阶微分方程来描述，因而状态的数目必定是2，但状态的选取不是唯一的，我们可以把i(t)与u2(t)选为状态向量，同时也可以把u2(t)与选取为状态向量。根据电路原理,这两组状态都可以描述RLC电路运动特性。)(2tu第九章状态空间系统响应、可控性与可观性图9-1RLC电路第九章状态空间系统响应、可控性与可观性状态向量如果n个状态变量用x1(t)，x2(t)，…，xn(t)表示，并把这些状态变量看作是向量x(t)的分量，则向量x(t)或x(t)=［x1(t)，x2(t)，…，xn(t)］T)()()()(21txtxtxtxn第九章状态空间系统响应、可控性与可观性状态空间以状态变量x1(t)，x2(t)，…，xn(t)为坐标轴构成的n维空间称为状态空间。系统在任意时刻的状态x(t)都可用状态空间中的一个点来表示。已知初始时刻t0的状态x(t0)，可得到状态空间中的一个初始点。随着时间的推移，x(t)将在状态空间中描绘出一条轨迹,称为状态轨迹线。状态方程描述系统的状态变量与系统输入量之间关系的一阶微分方程组，称为系统的状态方程。第九章状态空间系统响应、可控性与可观性【例9-2】在图9-1所示的电路中，如果选取u2(t)与i(t))()()(d)(dd)(d)(122tututRittiLttuCti第九章状态空间系统响应、可控性与可观性可把上式表示为如下两个一阶微分方程:取状态变量x1=u2(t)，x2=i(t)输出方程描述系统输出量与状态变量间的函数关系式，称为系统的输出方程。)(1)()(1)()(1)(122tuLtiLRtuLtitiCtu121221111uLxLRxLxxCx第九章状态空间系统响应、可控性与可观性【例9-3】在图9-1所示的电路中，假定系统的输出量为流过电感的电流i(t)，则系统的输出方程为y=x2状态空间表达式状态方程与输出方程总合起来，就构成对一个系统动态的完整描述，称之为状态空间表达式。第九章状态空间系统响应、可控性与可观性通常，对于单变量系统，状态方程习惯写成如下形式:(9.1)输出方程为y=c1x1+c2x2+…+cnxn+du(9.2)(9.3)式中:x=［x1，x2，…，xn］T，表示n维状态向量;ubxaxaxaxubxaxaxaxubxaxaxaxnnnnnnnnnnn2211222221212112121111duCxyBuAxx第九章状态空间系统响应、可控性与可观性A、B、C、d分别表示系统内部状态的系数矩阵(系统矩阵)、输入对状态作用的输入矩阵、输出与状态关系的输出矩阵、直接联系输入量与输出量的直接传递函数(或称前馈系数)。dcccCbbbBaaaaaaaaaAnnnnnnnnnn,,,121121212222111211第九章状态空间系统响应、可控性与可观性推广到p输入、q输出的系统，其状态空间表达式为(9.4)yj=cj1x1+cj2x2+…+cjnxn+dj1u1+dj2u2+…+djpup(j=1，2，…，q)(9.5)(9.6)式中x和A),,2,1(22112211niubububxaxaxaxpipiininiiiduCxyBuAxx第九章状态空间系统响应、可控性与可观性;；;；2122221112112121222211121121表示输出矩阵维输入向量表示表示输入矩阵维输入向量表示nqqnqqnnTqpnnpnnppTpcccccccccCqyyyybbbbbbbbbBpuuuu第九章状态空间系统响应、可控性与可观性。212222111211表示直接传递函数矩阵pqqpqqppdddddddddD上述系统可简称为系统(A，B，C，D)。第九章状态空间系统响应、可控性与可观性【例9-4】在图9-1所示的电路中，系统的状态空间表2121221111xyuLxLRxLxxCx第九章状态空间系统响应、可控性与可观性21121211010110xxyuLxxLCLCxx第九章状态空间系统响应、可控性与可观性若改选状态变量x1=u2，，输出量为流过电感的电流i(t)，也可以建立系统的状态空间表达式，描述为22ux212122111CxyuLCxLCRxLCxxx第九章状态空间系统响应、可控性与可观性这说明同一个系统状态变量的选取是不唯一的，所得出的状态空间描述也不唯一。但两个状态之间可以通过非奇异的线性变换实现互相转换。令则其中矩阵，为一非奇异矩阵。iutxuutz222)(,)()(/1001)(2222tTxiuCCiuuutzCT/1001第九章状态空间系统响应、可控性与可观性性质9.1同一个系统状态变量的选取是不唯一的，但状态之间可以通过非奇异的线性变换实现互相转换。证明可参考文献［11］，在此略去。用状态空间表达式描述的系统也可以用框图9-2表示系统的结构和信号传递的关系。图中的双线箭头表示向量信号传递。第九章状态空间系统响应、可控性与可观性图9-2状态空间表达式的框图第九章状态空间系统响应、可控性与可观性9.2状态空间表达式的建立9.2.1基于机理推导法建立状态空间表达式一般常见的控制系统，如电气、机械、机电、气动液压等，可以根据其物理定律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守恒定律等，建立系统的状态方程。并且当系统输出指定后，也很容易写出系统的输出方程。第九章状态空间系统响应、可控性与可观性【例9-5】对图2-3所示的机械阻尼系统，试建立其状态空间模型。解根据系统的运动方程式(2.6)，选取状态变量x1(t)=y(t),，令输入为系统所受的外力u(t)=f(t)，输出为质量块的位移y(t)，经过简单的推导可知)()(2tytx212121]01[1010xxyumxxmmkxx第九章状态空间系统响应、可控性与可观性式中duCxyBuAxx0],01[,10,10dCmBmmkA第九章状态空间系统响应、可控性与可观性【例9-6】已知图9-3所示电路的输入量为电流i，现指定电容C1和C2上的电压uC1、uC2为输出量，L1、L2、C1和C2为已知的独立变量。试建立此电路网络的状态空间表达式。第九章状态空间系统响应、可控性与可观性图9-3电路系统第九章状态空间系统响应、可控性与可观性解根据基尔霍夫电流定律，可以得到a、b和c三个节点处的电流关系分别为000422221112231iiuCiiuCuCiiiCCC第九章状态空间系统响应、可控性与可观性0dddd0dd0dd211121422213111CCCutiLtiLuiRtiLuiRtiL第九章状态空间系统响应、可控性与可观性令uC1=x1，uC2=x2，i1=x3，i2=x4，以上6个式子中消去非独立变量i3和i424231421422221311312214131111xxLxLxRxxLxCRiRxRxxLxCRxCxCx第九章状态空间系统响应、可控性与可观性解出，得到系统的状态空间表达式如下:4321,,,xxxxiRRLRRRRLRRRRCRxxxxRRLRRRRLRRRRLRLRRLRRRRLRRRRLRLRRCRRRCRRRCCCxxxx)()()(0)()()(1)()()(1)()()(10110021221211212121432121221212212122221121211212111121222121212114321第九章状态空间系统响应、可控性与可观性4321212100100001xxxxuuyycc第九章状态空间系统响应、可控性与可观性【例9-7】图9-4是电枢控制直流电动机的示意图,图中R、L分别为电枢回路电阻和电感，J为机械旋转部分的转动惯量，B为旋转部分的粘性摩擦系数。试列出该图在电枢电压作为控制作用时的状态空间表达式。第九章状态空间系统响应、可控性与可观性图9-4电枢控制直流电动机示意图第九章状态空间系统响应、可控性与可观性解根据电机工作原理，可得到如下方程:已知Ka为转矩常数，此系统机械旋转部分力矩平衡方程(根据牛顿定律)为已知Kbe=KbωuetiLRiddtJBiKdda第九章状态空间系统响应、可控性与可观性选取状态变量x1=i，x2=ω，整理上述三个方程，消去中间变量eJBiJKtuLLKiLRdtdibadd1uLxxJBJKLKLRxx0121ab21第九章状态空间系统响应、可控性与可观性若指定角速度ω若指定机械旋转部分转角θ为输出，则系统需增加一个状态量x3=θ，并且有23xx21210xxxy第九章状态空间系统响应、可控性与可观性3213321321]100[00101000xxxxyuLxxxJBJKLKLRxxxab则系统的状态空间表达式为第九章状态空间系统响应、可控性与可观性9.2.2基于系统方块图建