自动控制原理 第九章 状态空间分析方法

第九章状态空间分析方法第9章状态空间分析方法基本要求9-1状态空间方法基础9-2线性系统的可控性和可观性9-3状态反馈和状态观测器9-4有界输入、有界输出的稳定性9-5李雅普诺夫第二方法返回主目录引言：前面几章所学的内容称为经典控制理论；下面要学的内容称为现代控制理论。两者作一简单比较。经典控制理论(50年代前)现代控制理论(50年代后)研究对象单输入单输出的线性定常系统可以比较复杂数学模型传递函数(输入、输出描述)状态方程(可描述内部行为)数学基础运算微积、复变函数线性代数、矩阵理论设计方法的特点非唯一性、试凑成份多,经验起很大作用。主要在复数域进行。设计的解析性，与计算机结合，主要在时间域进行。基本要求①掌握由系统输入—输出的微分方程式、系统动态结构图、及简单物理模型图建立系统状态空间模型的方法。②熟练掌握矩阵指数的计算方法，熟练掌握由时域和复数域求解状态方程的方法。熟练掌握由动态方程计算传递函数的公式。③正确理解可逆线性变换,熟练掌握可逆线性变换前、后动态方程各矩阵的关系。④正确理解可控性和可观测性的概念，熟练掌握和运用可控性判据和可观性判据。返回子目录⑤熟练掌握可逆线性变换矩阵的构成方法,能将可控系统化为可控标准形。能将不可控系统进行可控性分解。⑥正确理解对偶原理,会将原系统的有关可观测性的问题转化为对偶系统的可控性问题来研究。⑦正确理解单变量系统零、极点对消与动态方程可控、可观测的关系。熟练掌握传递函数的可控性标准形实现、可观性标准形实现的构成方法。⑧正确理解状态反馈对可控性，可观性的影响,正确理解状态反馈可任意配置闭环极点的充要条件。⑨熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法,熟练掌握由观测器得到的状态估计值代替状态值构成的状态反馈系统,可进行闭环极点配置和观测器极点配置。⑩正确理解系统齐次方程渐近稳定和系统BIBO稳定的概念,熟练掌握判别渐近稳定的方法和判别系统BIBO稳定的方法。11正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的条件和解法,能通过解李雅普诺夫方程进行稳定性分析。9-1状态空间方法基础•在经典控制理论中，用传递函数来设计和分析单输入、单输出系统。•在现代控制理论中，用状态变量来描述系统。采用矩阵表示法可以使系统的数学表达式简洁明了，为系统的分析研究提供了有力的工具。返回子目录状态：动力学系统的状态可以定义为信息的集合。一、状态空间的基本概念已知时状态，时的输入，可确定时任一变量的运动状况。0t0tt0tt状态变量：确定动力学系统状态的最小一组变量。)(,),(1txtxn12nxtxtXtxt状态空间：由张成的n维向量空间。)(tX状态向量：如果完全描述一个给定系统的动态行为需要n个状态变量，那么状态向量定义为X(t)对于确定的某个时刻，状态表示为状态空间中一个点，状态随时间的变化过程，构成了状态空间中的一条轨迹。例9-2•设一RLC网络如图所示。回路方程为()1()()()ditetRitLitdtdtC图9-2RLC网络2()()xtitdt)()(1titx选择状态变量11211RxxxeLLCL则有21xx11010RuLCLLxx写成21)()(xCtcty10Cx输出11100RLLuLCxx写成)()(1titx21()()xtitdtC若选另一组状态变量11211()RxxxetLLL121xcx则有uyayayaynnnnn02211若给出(t=0)时的初值、、…、和时就可确定系统的行为。0,ttu)0(y)0(y)0()1(ny121,,,nnyxyxyx单输入-单输出线性定常系统选取状态变量二、系统的状态空间表达式12231nnxxxxxx（9-17）01121nnnxaxaxaxu或写成xAxBx12012101000001000,,00010nnxxxaaaaxAB（9-19）系统结构图如图所示图9-3例9-3222yyyu输入为u，输出为y。试求系统的状态方程和输出方程。考虑用下列常微分方程描述的系统解：12222122xxxxxu1122220102xxuxx状态方程为写成取状态变量12,xyxy输出1210xyx图9-4例9-3系统的结构图多输入-多输出系统图9-6多变量系统ppnnububxaxaxax111112121111ppnnububxaxaxax212122221212………pnpnnnnnnnububxaxaxax112211nxxx,,,21为状态变量；puuu,,,21为输入量；qyyy,,,21为输出变量。矩阵形式：xAxΒu111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA111212122212ppnnnpbbbbbbbbbB式中ppnnududxcxcxcy111112121111ppnnududxcxcxcy212122221212……….pqpqnqnqqqududxcxcxcy112211输出变量方程111212122212nnqqqncccccccccC111212122212ppqqqpdddddddddDyCxDu式中图9-7系统结构图三、线性定常系统状态方程的解式中均为列向量。)2,1,0(ibixAx（9-28）齐次向量微分方程kktbtbtbbtx2210)(（9-29）方程的解为1、齐次状态方程的解)(210121kkkktbtbbAtkbtbb可得()txxAx代入方程将方程两边系数必相等,即102210332001122113321kkbAbbAbAbbAbAbbAbk！0)0(bx我们定义022)121()(xtAktAAtItxkk！！（9-31）kKAttAktAAtIe！！12122（9-32）因此，齐次状态方程的解为将t=0代入（9-29）中得0)(xetxAt（9-33）()()xtAxt（9-34）)()(0sAxxssx（9-35）Ate为n×n矩阵，称矩阵指数。于是齐次状态方程的解为用拉氏变换法求解01)()(xAsIsx011])[()(xAsILtx])[(11AsILeAt122311()[][]AtkkkksIALeLIAtAtkIAAAssss！拉氏反变换后得到（9-37）（9-38）最终得到•与前一种解法所得结果一致。AtetAtexp式中()(0)()(0)Atxtextx（9-41）状态转移矩阵具有以下性质：I)0(,1)()(,21tt)()()(,3020112tttttt)()]([,4kttk图9-8状态转移特性性质3例9-511220100xxxx设系统的状态方程为试求状态转移矩阵。解：2211()2!!AtkkteIAtAtAtk230100,00001001()010001nAAAAttt11221()(0)01()(0)txtxxtx求状态转移矩阵为其中可以写出方程解为例9-6x3210x设系统状态方程为试求状态方程的解。解：2s21s12s21s22s11s12s11s2)2s)(1s(s)2s)(1s(2)2s)(1s(1)2s)(1s(3ss213s)2s)(1s(1AsI)AsI(adj)AsI(3s21s)AsI(1用拉氏变换求解。先求出矩阵指数状态方程之解为t2tt2tt2tt2t11Ate2ee2e2eeee2])AsI[(Le)0(x)0(xe2ee2e2eeee2)0(xe)t(x21t2tt2tt2tt2tAt将上式进行拉氏反变换图9-9系统的瞬态解（a）与相轨迹（b）改写为)()()(tButAxtx用左乘等式两边Ate2非齐次状态方程的解非齐次方程)()()(tButAxtx（9-53）)()]([)]()([tBuetxedtdtAxtxeAtAtAt（9-54）dBuextxetAAt)()0()(0dBuexetxttAAt)()0()(0)(用左乘上式两边Ate（9-54）0()()(0)()()txttxtBud则式（9-54）可以写成（9-55）积分上式得讨论非齐次状态方程的拉氏变换解法sBusAxxssx)()(0sBuAsIxAsIsx101)()()()]()[()0(])[()(1111sBuAsILxAsILtx拉氏反变换得])[(11AsILeAt由于ttAdBuesBuAsIL0)(11)(])[(由卷积定理有ttAdBuesBuAsIL0)(11)(])[(tAAtdtBuexetx0)()0()(ttAAtdBuexetx0)()()0()(因此由于最后得到例9-7uxx103210求下述系统状态的时间响应控制量u为单位阶跃函数。解：112222()2222tttttttttLsIAeeeeeeee)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1(3][1ssssssssssAsI由状态转移矩阵tttttAeeeedtBue0225.05.0)(tttteeeexttx225.05.0)0()()(220.50.5()tttteextee若初始状态为零状态，则)()()(sBUsAXssX)()()(sDUsCXsY四、传递函数矩阵BuAxx（9-58）系统状态方程DuCxy（9-59）输出方程拉氏变换为解出定义传递函数矩阵为)()()(1sBUAsIsX)(])([)(1sUDBAsICsYAsIAsIadjAsI)()(1DBAsICsG1)()(（9-63）所以特征方程为AsIDAsIBAsICadjDBAsIAsI