自动控制原理(2)

第二章自动控制系统的数学模型2-2传递函数(transferfunction)传递函数的定义线性定常系统在输入、输出初始条件均为零的条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。)()(sRsC零初始条件输入信号的拉氏变换输出信号的拉氏变换传递函数2-2-1传递函数的概念与定义第二章自动控制系统的数学模型0)0()0()0()0(0)0()0()0()0()1()1(nmccccrrrr这里，“初始条件为零”有两方面含义：一指输入作用是t＝0后才加于系统的，因此输入量及其各阶导数，在t=时的值为零。00二指输入信号作用于系统之前系统是静止的，即t=时，系统的输出量及各阶导数为零。许多情况下传递函数是能完全反映系统的动态性能的。第二章自动控制系统的数学模型设线性定常系统,由下面的n阶线性常微分方程描述:式中:r(t),c(t)分别为系统的输入、输出，ai(i=0,1,…,n),bj(j=0,1,…,m)是由系统的结构参数决定的常系数。第二章自动控制系统的数学模型如果满足零初始条件，则根据拉氏变换的定义和性质,对上式进行拉氏变换:并令C(s)=L［c(t)］,R(s)=L［r(t)］,可得)(][)(][11101110sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn第二章自动控制系统的数学模型由传递函数的定义可得系统的传递函数为：)()()()()(11101110sNsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmmnnnnmmmmasasasasNbsbsbsbsM11101110)()(M(s)和N(s)分别称为传递函数G(s)的分子多项式和分母多项式。传递函数的N(s)即为微分方程的特征多项式第二章自动控制系统的数学模型用算符d/dt置换复数s,便得到相应的传递函数11)()()(2RCsLCssUsUsGio)()()()(:22tutudttduRCdttudLCegiooo时域描述复域描述传递函数线性常微分方程2-2-2(1)线性变换dsdt第二章自动控制系统的数学模型(2)系统的传递函数,完全取决于系统本身的结构和各项系数,而与输入信号的具体形式和大小无关。G(s)R(s)C(s)因此,可以用方块图来表示一个具有G(s)的线性系统。该方块图表示输入到输出传输间的函数（因果）关系。第二章自动控制系统的数学模型(3)传递函数是复变量s的有理真分式函数,m≤n。这个结论可以看作是客观物理世界的基本属性,它反映了一个基本事实:一个物理系统的输出不可能立即复现输入信号,只有经过一段时间后,输出量才能达到输入量所要求的数值。第二章自动控制系统的数学模型(4)传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应)}({)}({)(11sGLsCLtg可见，系统传递函数的拉氏反变换即为单位脉冲输入信号下系统的输出。因此，单位脉冲输入信号作用下系统的输出,完全描述了系统动态特性，通常称为单位脉冲响应函数。设单位脉冲输入信号下系统的输出为g(t)，则第二章自动控制系统的数学模型(5)传递函数的局限性传递函数的概念主要适用于单输入、单输出的情况。a)若系统有多个输入信号,在求传递函数时,除了指定的输入量以外,其它输入量一概视为零。第二章自动控制系统的数学模型b)对于多输入、多输出线性定常系统,若选择不同的量作为输入量和输出量,所得到的传递函数可能不同。所以谈到传递函数,必须指明输入量和输出量。传递函数是由微分方程在初始条件为零时进行拉氏变换得到的,非零初始条件下不适用。传递函数是一种外部描述。第二章自动控制系统的数学模型12例2-3:求双T网络的传递函数rucu1C2C1R2R1i2i1u)()(susurC第二章自动控制系统的数学模型13解：根据基尔霍夫定理列出下列微分方程组：dttictuRtututidttitictuRtututiccr)(1)()()()()()(1)()()()(222122111111方程组两边取零初始条件下的拉氏变换得：第二章自动控制系统的数学模型14)(1)()()()()]()([1)()()()(222122111111sIsCsuRsususIsIsIsCsuRsususICCr21122112212()1()()1CrususRCRCsRCRCRCs消去中间变量后，得到传递函数为:第二章自动控制系统的数学模型LRui(t)Cuo(t)i(t)例2-4试确定图所示的RLC无源网络系统的传递函数。第二章自动控制系统的数学模型解:RLC无源网络系统的微分方程为：)()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo在零初始条件下,对上述方程中各项求拉氏变换,可得：(LCs2+RCs+1)Uo(s)=Ui(s)所以系统的传递函数为:11)()()(2RCsLCssUsUsGio第二章自动控制系统的数学模型利用阻抗算子概念，可以简化求G(S）复阻抗算子：UcidtCdtdiLiR1)()(11)()(sUsISCSLSIsRIC1RRLLsCCs第二章自动控制系统的数学模型18例2-5:求下图所示运算放大器的传递函数。图中Rf是反馈电阻，if是反馈电流，Ri是输入电阻，ur和ir是输入电压和电流，uc是输出电压,i0是进入放大器的电流。urucRfRiRuεi0irif-+第二章自动控制系统的数学模型19fcirRuuRuuifrcRRsusu)()(fcirRuRu解：根据运算放大器的特点(虚短，虚断)可得：第二章自动控制系统的数学模型20这个结论可以推广为：运算放大器的传递函数等于反馈复阻抗与输入复阻抗之比（加上一个负号）。ifrcsusuZZ)()(即:第二章自动控制系统的数学模型电气网络---电气系统中最常见的装置是由电阻、电容、运算放大器等元件组成的电路,又称电气网络。无源器件---将电阻、电感和电容等本身不含有电源的器件称为无源器件。仅由无源器件构成的电气网络称为无源网络。有源器件----将运算放大器这样本身包含电源的器件称为有源器件。如果电气网络中含有有源器件或电源,就称之为有源网络。第二章自动控制系统的数学模型2020/2/282-2-3典型环节及其传递函数传递函数可表示成复变量s的有理分式:传递函数可表示成零、极点形式：)()()()()(11101110sNsMasasasabsbsbsbsRsCsGmnnnmmmm1212()()()()()()()()()mnszszszMsGskNsspspsp第二章自动控制系统的数学模型2020/2/28考虑到G(S)的零、极点都有实数和共轭复数的情况，有时还具有零值极点的情况,则传递函数的一般形式（时间常数形式）为：典型环节---系统G（S）可写为常见的基本因子的乘积。这些常见基本因子代表的环节称为典型环节。ekkkkdjjvcllllbiisTsTsTssssKsG12211221)12()1()12()1()(第二章自动控制系统的数学模型sseekkkkdjjvcllllbiisTsTsTssssKsG12211221)12()1()12()1()(比例环节一阶微分环节二阶微分环节积分环节惯性环节振荡环节延迟环节纯微分环节第二章自动控制系统的数学模型2020/2/28输出量能够无失真、无延迟地按一定的比例关系复现输入量。c(t)=Kr(t)t0（K为比例系数或传递系数）比例环节的传函为：动态方程为：其输出量与输入量之间的关系为固定的比例关系。1.比例环节KsRsCsG)()()(第二章自动控制系统的数学模型2020/2/28动态方程为：式中T—惯性环节的时间常数K—比例系数。2.惯性环节!含有一个独立的储能元件！输出落后于输入量，不立即复现突变的输入例：RC惯性环节传递函数为：1)()()(TsKsRsCsG第二章自动控制系统的数学模型2020/2/283．积分环节传递函数为：动态方程为：单位阶跃输入时的输出为：C（t）=Kt上式说明，只要有一个恒定的输入量作用于积分环节，其输出量就与时间成比例地无限增加。TssKsRsCsG1)()()(第二章自动控制系统的数学模型2020/2/284．振荡环节121)(22TssTsG!含有两个独立的储能元件，可进行能量转换，输出有振荡。例：RLC网络振荡环节的运动方程和传递函数分别为：)()()(2)(222trtcdttdcTdttcdT第二章自动控制系统的数学模型2020/2/28纯微分环节常简称为微分环节,其运动方程和传递函数分别为：ssGdttdrtc)()()(5．微分环节特点:输出量正比输入量变化的速度,能预示输入信号的变化趋势。第二章自动控制系统的数学模型2020/2/28实际中没有纯粹的微分环节,实际中可实现的微分环节都具有一定的惯性,其传递函数如下:1)()()(TsssRsCsG第二章自动控制系统的数学模型6．延迟环节式中——纯延迟时间。又称为纯滞后环节。根据拉氏变换的延迟定理，传递函数为：