自动控制原理-胡寿松-第二章-控制系统的数学模型

第二章控制系统的数学模型在控制系统的分析设计中，首先要建立系统的数学模型。控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。静态数学模型，动态数学模型。建立控制系统数学模型的方法主要有两种：分析法和实验法本章研究用分析法建立系统的数学模型的方法。自动控制原理中数学模型的形式：时域中常用的数学模型：微分方程、差分方程和状态方程；复数域中常用的数学模型：传递函数、结构图、信号流图；频域中常用的数学模型：频率特性等。本章研究微分方程、传递函数和结构图、信号流图这几种数学模型的建立和应用，其余几种数学模型将在以后各种中分别详细阐述。本章目录2-1控制系统的时域数学模型2-2控制系统的复数域数学模型2-3控制系统的结构图与信号流图2-4在Matlab中数学模型的表示2-5本章小结2-6控制系统建模实例2-1控制系统的时域数学模型本节着重研究描述线性、定常、集总参量（对应非线性，时变、分布参量）控制系统的微分方程的建立和求解方法。本节内容：1.线性元件的微分方程2.控制系统微分方程的建立3.线性系统的基本特性4.线性定常微分方程的求解5.非线性微分方程的线性化6.运动的模态返回1.线性元件的微分方程控制系统是由各种物理元件有机组合构成的，因此，在研究控制系统的数学模型之前，我们有必要对常见控制系统中常用的物理元件的数学模型进行研究，最终将这些元件的数学模型合理组合起来就构成了整个控制系统的数学模型。举例说明控制系统中常用的电气元件、力学元件等微分方程的列写。（在允许的情况下，通常将非线性特性不强物理元件认为是线性的，以简化处理；如果非线性较强，则不能认为是线性的。）()iut例2-1图中是由电阻R、电感L和电容C组成的RLC无源网络，试列写以为输入量，以为输出量的网络微分方程。0()utL()it()iutR0()utC解设回路电流为，由基尔霍夫定律可写出回路方程为()1()()()()iditLitdtRitutdtC消去中间变量，便得到描述网络输入输出关系的微分方程为2002()()()()idutdtLCRCututdtdt显然，这是一个二阶线性微分方程，也就是上图无源网络的时域数学模型。()it()it01()()utitdtC例试列写图中所示RC无源网络的微分方程。输入为ui(t)，输出为u0(t)。解根据基尔霍夫定理，可列出以下式子：dttitiCtiRtui))()((1)()(21111dttiCtiRdttitiC)(1)())()((12222211dttiCtu)(1)(220整理得：)()()()()(002122112022121tutudttduCRCRCRdttudCCRRi令T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2则得)()()()()(0032120221tutudttduTTTdttudTTi该网络的数学模型是一个二阶线性常微分方程。（两个储能元件）2002()()()()idutdtLCRCututdtdt讨论：比较两个例题的时域表达式的形式)()()()()(0032120221tutudttduTTTdttudTTi2002()()()()idutdtLCRCututdtdt均为二阶线性微分方程，模型结构均为：因此，验证了不同的系统有结构相似的数学模型（相似系统）。因此研究某一类通用的数学模型，可以对应很多种系统，这在下面将要介绍的弹簧质量阻尼器系统中可以得到更进一步的证实。另外，对无源网络来说，电感、电容的个数决定了微分方程的阶次。201202()()()()()dctdctaaactbftdtdt例2-3图为一弹簧阻尼系统，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试列写外力F(t)与位移y(t)之间的微分方程。解弹簧和阻尼器有相应的弹簧阻力F1(t)和粘性摩擦阻力F2(t)，根据牛顿第二定律有：222()()()()dyttkyttmdtFF)()(1tkytFdttdyft)()(2F其中F1(t)和F2(t)可由弹簧、阻尼器特性写出式中k——弹簧系数f——阻尼系数22()()()()dytdyttkytfmdtdtF代入，整理且标准化)(1)()()(22tktydttdykfdttydkmF令称为时间常数；称为阻尼比；称为放大系数。kmT/)2/(mkfkK/1)()()(2)(222tKtydttdyTdttydTF得该网络的数学模型也是一个二阶线性常微分方程。例2-2试写图所示电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压为输入量，电动机转速为输出量。图中，分别是电枢电路的电阻和电感；是折合到电动机轴上的总负载转矩。励磁磁通设为常值。负负fiaRaLaiaEaumSM,mmJf()aut()mt,aaRLcM解电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转化为机械能，也就是由输入电枢电压在电枢或回路中产生电枢电流，再由电枢电流与激磁磁通相互作用产生电磁转矩，从而拖动负载运动。因此直流电动机的运动方程可由以下三部分组成：()aut()ait()ait()mMt电枢回路电压平衡方程()()()aaaaaaditutLRitEdt电磁转矩方程()()mmaMtCit电动机轴上的转矩平衡方程()()()()mmmmmcdtJftMtMtdt以上三式联立，消去中间变量，便可得到以为输出量，以为输入量的直流电动机微分方程22()()()()()()()()mmcamamamammemmaaacdtdtdMtLJLfRJRfCCtCutLRMtdtdtdt二阶微分方程如果电枢电阻和电动机的转动惯量都很小，可以忽略不计时，上式可以简化为在工程应用中，由于电枢电路电感较小，通常忽略不计，上式可简化为()()()()mmmmaccdtTtKutKMtdt一阶微分方程()()emaCtut电动机转速与电枢电压成正比，因此，电动机可作为测速发电机使用，构成反馈系统。aLaRmJ列写微分方程的步骤可以总结如下：1.根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定其输入量和输出量。2.分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律，列写相应的微分方程。3.消去中间变量，得到输出量与输入量之间关系的微分方程，便是元件时域的数学模型。一般情况下，应将微分方程写为标准形式，即与输入量有关的写在方程的右端，与输出量有关的写在方程的左端，方程两端变量的导数项均按降幂排列。返回)()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn2.控制系统微分方程的建立控制系统的微分方程是其各个组成元件微分方程的有机组合。建立控制系统的微分方程时，一般先由系统原理图画出系统的方块图，并分别列写组成系统各元件的微分方程；然消去中间变量便得到描述系统输出量与输入量之间关系的微分方程。列写系统各元件的微分方程时需注意两点：1.注意信号传递的单向性，前级的输出是后级的输入。2.注意前后连接两个元件中，后级对前级的负载效应。例2-5试列写下图所示速度控制系统的微分方程。功率放大器负载iu1R2R1K2K1R2R1RC1u2uauSMmTGtu解控制系统的被控对象是电动机（带负载），系统的输出量是转速，输入量是电压，控制系统由给定电位器、运算放大器1(含比较作用），运算放大器2(含RC校正网络）、功率放大器、直流电动机、测速发电机、减速器等部分组成。分别列写各部分的微分方程：iu运算放大器1（形成并放大偏差）111121(),iteuKuuKuKRR运算放大器2（RC校正网络）12212211,,duuKuKRRRCdt功率放大器32auKu直流电动机()mmmmaccdtTKuKMdt齿轮系1mi测速发电机ttuK从上述方程中，消去各个中间变量，整理后便可得到控制系统的微分方程：imggiccdudTKKuKMdtdt一阶微分方程该式可用于研究在给定电压或有负载扰动转矩时，速度控制系统的动态性能。iucM讨论从以上几个例题所示线性元件或控制系统的微分方程可以发现，不同类型的线性元件或控制系统可具有形式相同的数学模型。例如，RLC无源网络和弹簧-质量-阻尼器机械系统的数学模型均是二阶微分方程，或者例题2-5的速度控制系统可看做为一阶微分方程，我们称这些物理系统为相似系统。相似系统揭示了不同物理现象间的相似关系，便于我们使用一个简单数学模型去研究与其相似的复杂系统，也为控制系统的计算机数字仿真提供了基础。返回3.线性系统的基本特性能用线性微分方程描述的系统称为线性系统。(自控原理主要研究的一类系统）1011110111()()()()()()()()()()()()()()()()nnnnnnmmmmmmdctdctdctatatatatctdtdtdtdrtdrtdrtbtbtbtbtrtdtdtdt一般情况下，描述线性系统输入与输出关系的微分方程为:线性时不变(LTI，lineartimeinvaritable）输入与输出关系的微分方程为：)()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn22()()()()dctdctctftdtdt1()()ftft1()ct2()()ftft2()ct12()()()ftftft12()()()ctctct1()()ftAft1()()ctAct线性系统的重要性质就是满足叠加原理，也就是满足叠加原理的两个性质：可叠加性和齐次性（或称均匀性）举例说明：设有线性微分方程为当时，上述方程的解为；当时，其解为。如果，容易验证，方程的解必为而当时，式中A为常数，则方程的解必为这就是可叠加性。这就是齐次性（或称均匀性)。线性系统的叠加原理表明，两个外作用同时加于系统所产生的总输出，等于各个外作用单独作用时分别产生的输出之和，且外作用的数值增大若干倍时，其输出亦相应增大同样倍数。因此，对线性系统进行分析和设计时，如果有几个外作用同时施加于系统，则可以讲他们分别处理，依次求出各个外作用单独加入时系统的输出，然后将他们叠加。此外，每个作用在数值上可取单位值，从而大大简化了线性系统的研究工作。返回4.线性定常微分方程的求解线性定常微分方程的求解方法有经典法拉氏变换法（详细阅读教材附录A，拉氏变换P632）计算机求解(matlab)在自动控制原理中，重点掌握拉氏变换法求解线性定常微分方程，其核心思想是将微分方程转换为线性代数方程，以简化计算。具体步骤可归结为：1)考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程转换为变量s的代数方程。2）由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式。3）对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。拉氏变换表（常用函数）拉氏变换线性定理其中，拉氏变换的微分定理特别，拉氏变换的初值定理终值定理()12()0(0)nnnnLftsFssfsf()FsLft()(0)LftsFsf2()(0)(0)LftsFssff0(0)lim()lim()tsfftsFs0()lim()lim()tsfftsFs例题2-6（理解拉氏变换求解微分方程的方法，零输入响应，零状态响应，初值定理和终值定理）()LaftaFs1212()()()LftftFsFs例2-6在例2-1中，若已