自动控制原理4.4

第四节用根轨迹法分析系统性能第四章根轨迹分析法四、增加开环零极点对系统性能的影响二、已知根轨迹增益Kr确定闭环极点一、闭环极点位置与系统性能的关系根轨迹反映了闭环特征根随Kr变化的规律,通过根轨迹分析系统的性能具有直观方便的特点。三、已知性能指标确定闭环极点和Kr由上式可见性能主要由系统闭环传递函数的极点决定。负实数极点离虚轴越远,对应的分量衰减越快，系统的调节时间就越短,响应越快。n阶系统单位阶跃响应的一般表达式为C(s)=sn+a1sn-1+······+an-1s+anb0sm+b1sm-1+······+bm-1s+bmR(s)sA0s-s1A1s-snAn=++…+sA0s-sjAj∑nj=1=+一、闭环极点位置与系统性能的关系tsjen1jtsj0jeAA)t(cωdβjω0s1s2-ωdωnωn复数极点的参数与系统阶跃响应及性能指标的关系ωnξ3ts=c(t)=1-sin(t+β)1-ξ2e-ξtωnωdn%100e%100e%tg121.闭环复数极点的实部ξωn反映了系统的调整时间；2.闭环极点的虚部ωd表征了系统输出响应的振荡频率；3.闭环极点与负实轴的夹角β反映了系统的超调量；结论：复数极点离虚轴越远，快速性越好；离实轴越近，振荡频率越低，平稳性越好；β角越小，超调越小。例已知系统的闭环传递函数:Φ(s)=(s+1)(0.01s2+0.08s+1)1估算系统的性能指标。解：闭环有三个极点s1=-1s2,3=-4j9.2+s2.3离虚轴的距离是s1的四倍，因而可以忽略不计。关于主导极点s1为主导极点，原系统简化为一阶系统则Φ(s)=s+11ts=3T=3s用ＭＡＴＬＡＢ仿真一下，求得实际系统的调节时间为3.07秒！)100s8s)(16s(1600)s(2若100s8s100)s(2s75.03tns实际系统的调节时间为0.78秒！jω0s1s2s3-19.2-9.2-4第四节用根轨迹法分析系统性能二、已知根轨迹增益Kr确定闭环极点根据根轨迹曲线分析系统性能，有时需要确定增益Kr取某值时的闭环极点，进而确定闭环传递函数。已知Kr一般采用试探的方法确定闭环极点。例已知单位反馈系统的根轨迹图如图，s(s+1)(s+2)G(s)H(s)=Kr试确定Kr=1时的闭环传递函数。解：取：s3=-2.32s3=-2.33Kr=|s3||s3+1||s3+2|Kr=2.32x1.32x0.32=0.98Kr=1.023jω0p1p2p3-1-2系统的开环传递函数为s3=-2.325Kr=1.001325.2s13时找到一个特征根所以当rk可求得另两个极点:s1=-0.338+j0.56根据长除法得：s2+0.675s+0.431=0s2=-0.338-j0.56Kr=1时的闭环传递函数为:Φ(s)=(s+2.325)(s2+0.675s+0.431)1s3s2s1()s求:系统有重根时的闭环传函.)4)(2()(sssKsG单位反馈系统开环传函0j42828.2828.284.0d分离点K分离点对应的|0||2||4|3.08ddd解：3.08()(2)(4)3.08ssss()s求:系统有重根时的闭环传函.)4)(2()(sssKsG单位反馈系统开环传函0j42828.2828.284.0d分离点解：，再求另一根。已知两重根84).0(求系统极点：)1(方法一：试探法的点即为所求。满足，段取点，计算，在08.3)4(KK(零极点形式)0j42方法二：长除法系统特征方程为：)4)(2()(sssKsG32()683.080Dssss2)84.0)(32.4()(sssD，再求另一根。已知两重根84).0(*3.08K之积来求方法三：利用根之和根则有：，，常数项为项的系数为为首一的，且第设该方程根次方程有个一个basnisnnni1),,2,1(niiniibsas11)()(008.38623sss32.4684.084.033321sssss，再求另一根。已知两重根84).0(()s求:系统有重根时的闭环传函.)4)(2()(sssKsG单位反馈系统开环传函1,230.84,4.32ss解：求系统极点：)1((零极点形式)0j42828.2828.2)4)(2(08.3)(ssssG系统为单位反馈系统且求系统零点：)2(系统闭环无零点2)84.0)(32.4(08.3)(sssGnmKK(3)K*求系统闭环根轨迹增益84K第四节用根轨迹法分析系统性能三、已知性能指标确定闭环极点和Kr采用根轨迹法分析系统性能，有时也需要根据对系统的性能指标要求，确定闭环极点的位置和对应的Kr值，使得系统的性能满足要求。要求s(s+1)(s+2)G(s)H(s)=Krξ=0.5，试确定闭环极点和对应的Kr。例已知单位反馈系统的开环传递函数:系统的根轨迹如图:d=-0.423解：在根轨迹图上作射线:β=±60º与根轨迹相交点为s1和s2=-3+0.33x2=-2.34=2.34x1.34x0.34=1.066Kr=|s3||s3+1||s3+2|jω0p1p2p3-1-2s1,2=-0.33±j0.58即∑3j=1Pj-s3=s1-s2系统的闭环传递函数为：Φ(s)=(s+2.34)[(s+0.33)2+0.582]1.066s1s2s3怎么得来的？设相应两个复数闭环极点分别为：要求ξ=0.5，试确定闭环极点和对应的Kr。例已知系统的开环传递函数:系统的根轨迹如图:d=-0.423解：在根轨迹图上作射线:β=±60º与根轨迹相交点为s1和s2jω0p1p2p3-1-2s1s2s3nnjs866.05.01nnjs866.05.02则闭环特征方程式为))()((321ssssss0)()(2332233nnnnssssss023r23Ksss系统特征方程为要求ξ=0.5，试确定闭环极点和对应的Kr。例已知系统的开环传递函数:解：0)()(2332233nnnnssssss比较系数，得：r2332323Ksssnnnn04.133.267.0r3Ksn58.033.01js58.033.02js33.23s∵s1，s2是系统的主导闭环极点∴可以用s1，s2所构成的二阶系统来估算原三阶系统的动态性能指标。第四节用根轨迹法分析系统性能四、增加开环零极点对系统性能的影响由以上分析知，闭环特征根应该位于s左半平面，而且离虚轴要有一定的距离，才能满足系统的稳定性和快速性要求。增加开环零、极点必将改变根轨迹的形状和走向，即改变系统的性能。（1）设二阶系统的开环传递函数为s(s+1)G(s)H(s)=Kr1.增加开环零点s(s+1)G(s)H(s)=Kr(s+2)该零点使根轨迹向左弯曲，选择适当Kr值，既可使闭环极点离虚轴有一定的距离，以减小超调量和调整时间，改善系统的稳定性和快速性。jω0p1p2-1jω0p2p1-1z1-2如果零点选择不合适，效果就完全不一样。s(s+1)G(s)H(s)=Kr(s+0.5)jω0p1p2-1不管怎么选择Kr值，闭环极点总为两个实数极点。主导极点离虚轴的距离在0~0.5之间，系统的调节时间不可能缩短。z1-0.5s(s+1)G(s)H(s)=Krjω0p1p2-1（2）设三阶系统的开环传递函数为增加零点:jω0p1p2p3-5加了合适的零点后根轨迹的渐近线位于s左半平面，系统由不稳定变成稳定。jω0p1p2p3-5)5(2sskGHr)5()2(2ssskGHr)5()10(2ssskGHrp1p2p3-50jωz1-10z1-2(1)(2)()(1)KssGsss练习：已知单位负反馈开环传递函数值。求系统稳定时的值；的求系统出现衰减振荡时环传函求系统出现重根时的闭绘制根轨迹；要求：KKs)4()3();()2()1()1()2)(1()(ssssKsG绘制根轨迹解：)1(0j112求与虚轴交点37.1,37.0211111121dddddd分离点：02)13()1(2KsKsK系统特征方程为：劳斯判据法37.037.1012sss1321KKKK2031K032342s方程：由零行上一行构成辅助707.022jjs02)13()1(2KsKsK0j1137.0237.1707.0707.0)()2(s环传函求系统出现重根时的闭0j1137.0237.1707.0707.0处出现重根和根轨迹在37.137.0且极点已知。应该有两个对应的闭环传函,)(s2K1K21KK和根轨迹增益先求重根处对应的开环)1()2)(1()(ssssKsG递函数已知单位负反馈开环传)1()2)(1()(ssssKsG递函数已知单位负反馈开环传12KK求重根处对应的开环根轨迹增益和0718.037.237.163.037.01K由模值方程，可得：0j1137.0237.1707.0707.02K1K93.1363.037.037.237.12K10.0718K0j1137.0237.1707.0707.02K1K213.93K1112220.06710.9331KKKKKKnm21)37.0()2)(1(067.0)(ssss22)37.1()2)(1(933.0)(ssss(1)(2)()(1)KssGsss值；的求系统出现衰减振荡时K)3(0j1137.0237.1707.0707.02K1K*313K根轨迹与虚轴相交时93.132K又已知时系统出现衰减振荡93.1331KKK2)1()2)(1()(ssssKsG时系统出现衰减振荡3286.27K值求系统稳定时的K)4(0j1137.0237.1707.0707.013K根轨迹与虚轴相交时时系统稳定31K的范围。态下单位斜坡输入时再求：系统在欠阻尼状sse0j1137.0237.1707.0707.00718.01K93.132K313K)1()2)(1()(ssssKsG036.086.2715.1sse)3()4)(()(72ssssKssG：已知单位反馈系统例解：的系统闭环根轨迹；从试绘制~0.1K；确定重根处)(.2s的取值范围。，求要求时当Kettrss1||,)(.3)(.1零点变化时的根轨迹绘制根轨迹求根轨迹方程(1):0,)(1得由sG0)4)(()3(2sKssss0)1()4(12sssK0)1()4(12sssK画零极点分布图(2)0j41求分离点(3))(646.5,354.04112121舍ddddd求渐近线)4(092)12(12)4(11kaa求与虚轴交点(5)354.0求与虚轴交点(5)414.1414.10j410)1()4(12sssK04)1(223KsKss0123ssss)1(2KKK4211K401K0422Ks方程：由零行上一行构成辅助414.12jjs；确定重根处)(.2s)()354.0()4)