2012—2018高考全国卷Ⅰ文科数学立体几何专题复习(附详细解析)

2012-2018年新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编立体几何一、选择题【2017，6】如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是（）【2016，7】如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【2016，11】平面过正方体1111ABCDABCD的顶点A，∥平面11CBD，平面ABCDm，平面11ABBAn，则,mn所成角的正弦值为（）A．32B．22C．33D．13【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有()A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=()BA．1B．2C．4D．8【2015，11】【2014，8】【2013，11】【2012，7】【2014，8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的一个几何体的三视图，则这个几何体是()A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱【2013，11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()．A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为A．6B．9C．12D．15【2012，8】平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为2，则此球的体积为（）A．6B．43C．46D．63【2018，5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，该圆柱的表面积为A.12πB.12πC.8πD.10π【2018，9】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为A.2B.C.3D.2【2018，10】在长方形ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为A.8B.6C.8D.8二、填空题【2017，16】已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCASCB平面，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为_______．【2013，15】已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为______．三、解答题【2017，18】如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，且90BAPCDP．（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PAPDABDC，90APD，且四棱锥PABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积．【2016，18】如图所示，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，6PA，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E．连结PE并延长交AB于点G．（1）求证：G是AB的中点；（2）在题图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．PABDCGE【2015，18】如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE⊥平面ABCD，(Ⅰ)证明：平面AEC⊥平面BED；(Ⅱ)若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E-ACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积．【2014,19】如图，三棱柱111CBAABC中，侧面CCBB11为菱形，CB1的中点为O，且AO平面CCBB11.（1）证明：;1ABCB（2）若1ABAC,,1,601BCCBB求三棱柱111CBAABC的高.【2013，19】如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°．(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝6，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．【2012，19】如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，90ACB，AC=BC=21AA1，D是棱AA1的中点．（1）证明：平面BDC1⊥平面BDC；（2）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．【2018，18】如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA。（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=DA，求三棱锥Q-ABP的体积。DA1B1CABC1解析一、选择题【2017，6】如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是（）【解法】选A．由B，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；由C，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；由D，AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ．故A不满足，选A．【2016，7】如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（）．A．17πB．18πC．20πD．28π解析：选A．由三视图可知，该几何体是一个球截去球的18，设球的半径为R，则37428ππ833R，解得2R．该几何体的表面积等于球的表面积的78，加上3个截面的面积，每个截面是圆面的14，所以该几何体的表面积为22714π23π284S14π3π17π．故选A．【2016，11】平面过正方体1111ABCDABCD的顶点A，∥平面11CBD，平面ABCDm，平面11ABBAn，则,mn所成角的正弦值为（）A．32B．22C．33D．13解析：选A．解法一：将图形延伸出去，构造一个正方体，如图所示．通过寻找线线平行构造出平面，即平面AEF，即研究AE与AF所成角的正弦值，易知3EAF，所以其正弦值为32．故选A．ABCDA1B1C1D1EF解法二（原理同解法一）：过平面外一点A作平面，并使∥平面11CBD，不妨将点A变换成B，作使之满足同等条件，在这样的情况下容易得到，即为平面1ABD，如图所示，即研究1AB与BD所成角的正弦值，易知13ABD，所以其正弦值为32．故选A．D1C1B1A1DCBA【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有()BA．14斛B．22斛C．36斛D．66斛解：设圆锥底面半径为r，依题11623843rr，所以米堆的体积为211163203()54339，故堆放的米约为3209÷1．62≈22，故选B．【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=()BA．1B．2C．4D．8解：该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为2πr2+πr×2r+πr2+2r×2r=5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，故选B．【2014，8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的一个几何体的三视图，则这个几何体是()BA．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱解：几何体是一个横放着的三棱柱．故选B【2013，11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()．A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π解析：选A．该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．V半圆柱＝12π×22×4＝8π，V长方体＝4×2×2＝16．所以所求体积为16＋8π．故选A．【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．15【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥A-BCD，底面△BCD为底边为6，高为3的等腰三角形，侧面ABD⊥底面BCD，AO⊥底面BCD，因此此几何体的体积为11(63)3932V，故选择B．【2012，8】8．平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为2，则此球的体积为（）A．6B．43C．46D．63【解析】如图所示，由已知11OA，12OO，在1RtOOA中，球的半径3ROA，所以此球的体积34433VR，故选择B．【点评】本题主要考察球面的性质及球的体积的计算．【2011，8】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）【解析】由几何体的正视图和侧视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其侧视图可以是一个由OBDCA等腰三角形及底边上的高构成的平面图形．故选D．【2018，5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，该圆柱的表面积为B【2018，9】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为BA.2B.C.3D.2【2018，10】在长方形ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为CA.8B.6C.8D.8二、填空题【2017，16】已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCASCB平面，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为_______．【解析】取SC的中点O，连接,OAOB，因为,SAACSBBC，所以,OASCOBSC，因为平面SAC平面SBC，所以OA平面SBC，设OAr，3111123323ASBCSBCVSOArrrr，所以31933rr，所以球的表面积为2436r．【2013，15】已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为______．答案：9π2解析：如图，设球O的半径为R，则AH＝23R，OH＝3R．又∵π·EH2＝π，∴EH＝1．∵在Rt△OEH中，R2＝22+13R，∴R2＝98．∴S球＝4πR2＝9π2．【2011，16】已知两个圆锥由公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为．【解析】设圆锥底面半径为r，球的半径为R，则由223π4π16rR，知2234rR．根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O，且两圆锥的顶点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的点，因此PBQB．设POx，QOy，则2xyR．又POBBOQ△∽△，知22rOBxy．即2234xyrR．由及xy可得3,22RxRy．则