门爱东数字信号处理课后题答案

数字信号处理习题解答20051第一章习题1.1给定f(t)=rect(t+2)+rect(t-2),画出下列函数的图形。(1)f(t)(2)g(t)=f(t-1)(3)h(t)=f(t)u(t)(4)f(t/2)解：（1）()tf（2）()()1-=tftg（3）()()()tutfth=f(t)1-3-2-10123tg(t)1-2-10123t数字信号处理习题解答20052（4）()2tf1.2设f(t)是某一函数，a,t0,T为实常数，证明：(1)000()()()()tftaftatttdd-=-(2)0001()()()()ftatftaaatttdd-=-(3)000()()()()ntftcombTfnTtnTTtttd¥=-¥-==--å解：（1）()()()()()()()()00000tttfatttfattatftfatt-=-=-=-ddddh(t)10123t()2tf1-5-4-3-2-1012345t数字信号处理习题解答20053(2)()()()()()()()()00001011taataattaaaftattfttfttftdddd-=-=-=-（3）()()()()()()()()()()()()0000000ttttttnTTTTnnnnnftcombftnftTftttnTTftttnTTftnTttnTddddd∞∞----=-∞=-∞∞=-∞∞∞=-∞=-∞=-==--=--=+--∑∑∑∑∑1.3(1)如f(t)F(Ω)，证明：eeetjtyjtjtfdyyFFΩ-∞∞--Ω-Ω-==*Ω∫)(2)()()(p(2)用（a）的结果，证明频域卷积定理12121()()()()2ftftFFp↔Ω*Ω证明：（1）()()()()()()2jytjtjtjytjtjytjtFeFyedyFyeedyeFyedyftep∞∞-Ω--Ω-Ω-∞-∞∞-Ω-Ω-∞Ω*====∫∫∫（2）()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1121212211221122112212121212122jtjtjtjytjytjytFftftftftedtfteftdtFeftdtFyedyftdtFyeftdydtftedtFydyFyFydyFpppppppp+∞+∞-Ω-Ω-∞-∞+∞-Ω-∞+∞+∞-Ω--∞-∞+∞+∞-Ω--∞-∞+∞+∞-Ω--∞-∞+∞-∞==⋅⎡⎤⎣⎦=Ω*⋅=⋅⋅=⋅==Ω-⋅=∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫()()12FΩ*Ω数字信号处理习题解答20054所以()()()()112221ftftFFp↔Ω*Ω1.4求下图中f(t)脉冲的傅氏变换。解：令2Tt=，脉冲幅度为1，截取f(t)的一个周期f0(t)。则f0(t)的傅立叶变换为：()()[]()()422200TTTSaSatfFFwwtw⋅=⋅==得()()112110124,nTnnTTFFSawp====所以()()()()()11142nnnTnFftFFnSanwwpdwwpdww∞=-∞∞=-∞==-⎡⎤⎣⎦=-∑∑注：如果用sinc函数表示，结果：()()()∑∞-∞=-=nTnncF141sinwwdpwpw1.5证明(1)()()()HHadW*W=W-(2)00()()()nnHnHnd¥¥=-¥=-¥W*W+W=W+Wåå证明：(1)左边()()()()()HdHdHadaadaaa∞∞-∞-∞=⋅Ω-=ΩΩ-=Ω-∫∫(2)T/4T数字信号处理习题解答20055()()()()()0000()()nnnnHnHndHndHndtdtttdtt∞∞∞-∞=-∞=-∞∞∞-∞=-∞∞=-∞Ω*Ω+Ω=⋅Ω-+Ω=Ω-+Ω=Ω+Ω∑∑∫∑∫∑1.6设()atfte-=，证明脉冲序列()()nfnTtnTd¥=-¥-å的傅氏变换等于22112cosaTaTaTeeTe-----W+证明：设()()()∑∞-∞=-=nnTtnTftgd则：()()()()()()()()()010101211111jnTnnanTjnTanTjnTanTjnTnnnanTjnTanTjnTnnnTajnTajnnTajTajTajaTFgtFfnTtnTfnTeeeeeeeeeeeeeeeeed∞∞-Ω=-∞=-∞∞+∞--Ω-Ω--Ω=-∞=-∞=+∞+∞-Ω--Ω==+∞+∞--Ω-+Ω==-+Ω--Ω-+Ω-⎡⎤=-=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦==+=+=+=+---=∑∑∑∑∑∑∑∑∑22cosaTaTeTe---Ω+1.7(1)证明00012(),jnTnnnTepd¥¥-W=-¥=-¥=W+WW=Wåå(2)若f(t)F(Ω)，证明0()()jnTnnTfnTFne¥¥-W=-¥=-¥=W+Wåå数字信号处理习题解答20056证明：(1)()()0011jnTnnjnTnnetnTetnTdd∞∞-Ω=-∞=-∞∞∞-ΩΩΩ=-∞=-∞↔-∴↔-∑∑∑∑令()()01nfttnTd∞Ω=-∞=-∑f(t)为周期冲激序列，截取f(t)中一个周期()()10fttdΩ=，其傅立叶变换为：()()0011001FftFΩΩ=Ω=⋅=⎡⎤⎣⎦所以()01001nTFFTΩ=Ω=Ω=Ω则()()()()()()0010020022nTnnTnnFftFFnnnnppdpddd∞∞Ω=-∞=-∞∞Ω=-∞∞=-∞=Ω=Ω-Ω=Ω+Ω⎡⎤⎣⎦=Ω+Ω=Ω+Ω∑∑∑∑所以()010jnTnnend∞∞-ΩΩ=-∞=-∞=Ω+Ω∑∑(2)右边：()∑∞-∞=Ω+ΩnnF0，傅氏变换：()()()()()()nTtnTTfnTttfetfnFFnnntjnn-=+==⎥⎦⎤⎢⎣⎡Ω+Ω∑∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=Ω-∞-∞=dd00左边：傅氏反变换：()()()()()1jnTnnnFTfnTeTfnTtnTTfnTtnTdd∞∞∞--Ω=-∞=-∞=-∞⎡⎤=⋅-=⋅-⎢⎥⎣⎦∑∑∑所以两者相等，原式成立。数字信号处理习题解答20051第二章习题2.1若离散时间信号为2cos(2πn/3),抽样率为2000Hz，写出所对应的模拟信号的表达式。解：设对应的模拟信号为：()2cos2xtftp=由取样率为2000Hz得取样周期为1/2000秒故()()|2cos(2)stnTsxnftfnTp===，1/2000sT=所以1/3sfT=解出2000/3f=因此()2cos(4000/3)xttp=2.2以抽样频率fs=200Hz对模拟正弦信号()axt进行抽样()6cos(60)3sin(300)2cos(340)4cos(500)10sin(660)axttttttppppp=++++试确定抽样后的离散信号表达式。解：1/1/200ssTf==()()|6cos(0.3)3sin(1.5)2cos(1.7)4cos(2.5)10sin(3.3)saatnTxnxtnnnnnppppp===++++2.3下列系统中，y(n)表示输出，x(n)表示输入，试确定输入输出关系是否线性？是否非移变？(1)y(n)=2x(n)+3(2)y(n)=x2(n)(3)()()nmynxm=-¥=å解：(1)设输入为x1(n)和x2(n)，对应输出为y1(n)和y2(n)则输出为：3)(2)(11+=nxny,3)(2)(22+=nxny11221122112212()2[()()]3()()()()3()ynaxnaxnaynaynaxnaxnaa=++≠+=+++数字信号处理习题解答20052故为非线性。设输入为：)()(0'nnxnx-=则输出为：)(3)(2)(00'nnynnxny-=+-=故是非移变系统。(2)设输入为x1(n)和x2(n)，对应输出为y1(n)和y2(n)则输出为：)()(211nxny=,)()(222nxny=)()()()()]()([)(22221122221122211'nxanxanyanyanxanxany+=+≠+=故为非线性。设输入为：)()(0'nnxnx-=则输出为：)()(02'nnxny-=而)()()('020nynnxnny=-=-故是非移变系统。(3)设输入为x1(n)和x2(n)，对应输出为y1(n)和y2(n)则输出为：∑-∞==nmmxny)()(11,∑-∞==nmmxny)()(221'112211221122()[()()]()()()()]nmnnmmnnmmynaxnaxnaxnaxnaxnaxn=-∞=-∞=-∞=-∞=-∞=+=+=+∑∑∑∑∑故为线性。设输入为：)()(0'nnxnx-=则输出为：数字信号处理习题解答20053∑+-∞=-==0)()()(0'nnmnmxnyny而)()()('000nynmxnnynnm=-=-∑+-∞=故是非移变系统。2.4确定下列系统是否因果的？是否稳定的？(1)y(n)=g(n)x(n),g(n)有界(2)0()()nkynxkn=-=ånn0(3)y(n)=x(n-n0)(4)x(n)=anu(n),h(n)=u(n)(5)x(n)=anu(n),h(n)=(1/2)nu(n)解：（1）令Mng≤|)(|,若Mnx≤|)(|∞≤=|)(||)()(||)(|nxMnxngny，故稳定。设当kn≤时，)()(21nxnx=)()()(11ngnxny=，)()()(22ngnxny=，)()(21nyny=故因果。(2)若Mnx≤|)(|，|)(||)(|0∑-==nnkkxny，当∞→n时，|)(|ny有可能趋于∞，故非稳定。设当kn≤时，)()(21nxnx=∑-==nnkkxny0)()(11，∑-==nnkkxny0)()(22，)()(21nyny=故因果。(3)若Mnx≤|)(|，∞≤-=Mnnxny|)(||)(|0，故稳定。显然，对于)()(0nnxny-=，当0n时非因果，0≥n是非因果。(4)对于)()(nunh=，当0n时0)(=nh，因果。∞==∑∑∞=∞-∞=0)(|)(|nnnunh故不稳定(5)对于)()21()(nunhn=，当0n时0)(=nh，因果。数字信号处理习题解答20054∞=∑∑∞=∞-∞=0)21(|)(|nnnnh故稳定2.5x(n)为输入序列，h(n)为系统的单位取样响应序列，确定输出序列y(n)，(1)如图p2.1(a)所示(2)如图p2.1(b)所示(3)如图p2.1(c)所示解：x(n)=d(n-1)+2d(n)+d(n+1)h(n)=u(n)y(n)=x(n)*h(n)=u(n-1)+2u(n)+u(n+1)x(n)=2d(n-2)+d(n-1)+d(n)+2d(n+1)+d(n+2)h(n)=d(n-2)y(n)=x(n)*h(n)=2d(n-4)+d(n-3)+d(n-2)+2d(n-1)+d(n)x(n)=-d(n-1)+2d(n)h(n)=d(n-2)+2d(n-1)-d(n)y(n)=x(n)*h(n)=-d(n-3)+5d(n-1)–2d(n)-1012n122111-2-1012nx(n)h(n)(b)012n-101n-121x(n)h(n)(c)20123n2111-101nx(n)h(n)(a)数字信号处理习题解答200552.6直接计算卷积和，求序列()0nhnaìï=íïî0()0nnxnb-ìï=íïî的卷积y(n)=x(n)*h(n)，并用公式表示它。解：00()()()()()()kknnkknnkynxnhnxkhnkbababa∞=-∞∞---∞+∞-=-∞=*=⋅-==∑∑∑其中⎩⎨⎧≤≤-NknkNn0当0n时，k无可取值区间，0)(=ny当Nn≤0时，nk≤0，()()⎪⎩⎪⎨⎧--==---=-∑ababbabaabba/1/1)()(00010nnnnnknknnnnybaba≠=当NnN2≤时，NkNn≤-，()()()⎪⎩⎪⎨⎧--