偏导数

偏导数我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如下定义。定义设函数),(yxfz在点),(00yx的某一邻域内有定义，当y固定在0y而x在0x处有增量x时，相应地函数有增量),(),(0000yxfyxxf，如果xyxfyxxfx),(),(lim00000存在，则称此极限为函数),(yxfz在点),(00yx处对x的偏导数，记为00yyxxxz，00yyxxxf，00yyxxxz或),(00yxfx.一、偏导数的定义及其计算法同理可定义函数),(yxfz在点),(00yx处对y的偏导数，为yyxfyyxfy),(),(lim00000记为00yyxxyz，00yyxxyf，00yyxxyz或),(00yxfy.如果函数),(yxfz在区域D内任一点),(yx处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数),(yxfz对自变量x的偏导数，记作xz，xf，xz或),(yxfx.hyxfyhxfyxfhx),(),(lim),(0同理可以定义函数),(yxfz对自变量y的偏导数，记作yz，yf，yz或),(yxfy.hyxfhyxfyxfhy),(),(lim),(0偏导数的求法由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数并不需要新的方法求时把y视为常数而对x求导xf求时把x视为常数而对y求导yf这仍然是一元函数求导问题如在处),,(zyxfu),,(zyx,),,(),,(lim),,(0xzyxfzyxxfzyxfxx,),,(),,(lim),,(0yzyxfzyyxfzyxfyy.),,(),,(lim),,(0zzyxfzzyxfzyxfzz偏导数的概念可以推广到二元以上函数一般地设),,,(21nxxxfwininiixixxxxfxxxxfxwi),,,,(),,,,(lim110),,2,1(ni例1求223yxyxz在点)2,1(处的偏导数．解xz;32yxyz.23yx21yxxz,8231221yxyz.72213例2设yxz)1,0(xx，求证zyzxxzyx2ln1.证xz,1yyxyz,lnxxyyzxxzyxln1xxxyxyxyylnln11yyxx.2z原结论成立．例3设22arcsinyxxz，求xz，yz.解xzxyxxyxx2222211322222)(||yxyyyx|)|(2yy.||22yxyyzyyxxyxx222221132222)()(||yxxyyyxyyxx1sgn22)0(y00yxyz不存在．例4已知理想气体的状态方程RTpV（R为常数），求证：1pTTVVp.证VRTp;2VRTVppRTV;pRTVRpVT;RVpTpTTVVp2VRTpRRVpVRT.1有关偏导数的几点说明：１、偏导数xu是一个整体记号，不能拆分;２、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；计算fx(x0,y0)时可先将y=y0代入f(x,y)再对x求导然后代入x=x0计算fy(x0,y0)时同理).0,0(),0,0(,),(,yxffxyyxfz求设例如解xxfxx0|0|lim)0,0(00).0,0(yf3、4、偏导数的实质仍是一元函数求导问题，具体求导时要弄清是对哪个变量求导，其余均视为常量，但由于变量较多，易产生混乱-——重要的是区分清函数的类型——这是出错的主要原因。5、若f(x,y)=f(y,x)则称f(x,y)关于x,y具有轮换对称性在求时22,yuyu只需将所求的22,xuxu中的x,y互换即可6、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导连续，多元函数中在某点偏导数存在连续，例如,函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在)0,0(处，0)0,0()0,0(yxff.但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.7、偏导数的几何意义,),()),(,,(00000上一点为曲面设yxfzyxfyxM如图几何意义:偏导数),(00yxfx就是曲面被平面0yy所截得的曲线在点0M处的切线xTM0对x轴的斜率.偏导数),(00yxfy就是曲面被平面0xx所截得的曲线在点0M处的切线yTM0对y轴的斜率.二、高阶偏导数函数),(yxfz的二阶偏导数为),,(22yxfxzxzxxx),(22yxfyzyzyyy纯偏导),,(2yxfyxzxzyxy),(2yxfxyzyzxyx混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.例5　设13323xyxyyxz，求22xz、xyz2、yxz2、22yz及33xz.22xz,62xy33xz,62y22yz;1823xyxyxz2,19622yyxxyz2.19622yyx观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：原函数图形偏导函数图形偏导函数图形二阶混合偏导函数图形例6设byeuaxcos，求二阶偏导数.解,cosbyaexuax;sinbybeyuax,cos222byeaxuax,cos222byebyuax,sin2byabeyxuax.sin2byabexyuax问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？定理如果函数),(yxfz的两个二阶混合偏导数xyz2及yxz2在区域D内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．例7验证函数22ln),(yxyxu满足拉普拉斯方程解),ln(21ln2222yxyx,22yxxxu,22yxyyu,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu.)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu.0三、小结偏导数的定义（偏增量比的极限）偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数纯偏导混合偏导（相等的条件）思考题若函数),(yxf在点),(000yxP连续，能否断定),(yxf在点),(000yxP的偏导数必定存在？思考题解答不能.例如,,),(22yxyxf在)0,0(处连续,但)0,0()0,0(yxff不存在.练习题一、填空题:1、设yxztanln,则xz________;yz_________.2、设xzyxezxy则),(_______;yz________.3、设,zyxu则xu__________;yu__________;zu____________.4、设,arctanxyz则22xz________;22yz_______;yxz2____________.5、设zyxu)(,则yzu2__________.二、求下列函数的偏导数:1、yxyz)1(；2、zyxu)arctan(.三、曲线4422yyxz,在点(2,4,5)处的切线与正向x轴所成的倾角是多少?四、设xyz,求.,22222yxzyzxz和五、设)ln(xyxz,求yxz23和23yxz.六、验证:1、)11(yxez,满足zyzyxzx222；2、222zyxr满足rzzryrxr222222.七、设0,00,arctanarctan),(22xyxyyxyxyxyxf求xyxff,.练习题答案一、1、yxyxyxy2csc2,2csc22；2、)1(2yxyexy,)1(2xxyexy；3、xxzxzyzyzyln1,1,xxzyzyln2；4、22222222222)(,)(2,)(2yxxyyxxyyxxy；5、)ln1()(yxyzyyxz.二、1、xyxyxyxyyzxyyxzyy1)1ln()1(,)1(12;2、zzyxyxzxu21)(1)(,,)(1)(21zzyxyxzyuzyxyxyxzu2)(1)ln()(.三、4.四、,)1(,ln222222xxyxxyzyyxz)1ln(12yxyyxzx.五、223231,0yyxzyxz.七、0,0;0,00,0,0,arctan2yxyxyxyxyyxyxfx,0,0,10,0,12222yxxyyxyxxfxy.