2013高三数学总复习第七章章末检测

第七章章末检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2011·山东)设集合M＝{x|x2＋x－60}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N等于()A．[1,2)B．[1,2]C．(2,3]D．[2,3]2．(2011·商丘月考)下列命题中为真命题的是()A．若ab，cd，则acbdB．若|a|b，则a2b2C．若ab，则a2b2D．若a|b|，则a2b23．若实数a、b满足a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是()A．18B．6C．23D．2434．不等式y≥|x|表示的平面区域是()5．(2011·北京)如果12logx12logy0，那么()A．yx1B．xy1C．1xyD．1yx6．若实数x，y满足不等式组x＋3y－3≥0，2x－y－3≤0，x－y＋1≥0，则x＋y的最大值为()A．9B.157C．1D.7157．点P(a,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离等于4，且在2x＋y－30表示的平面区域内，则a的值为()A．3B．7C．－3D．－78．(2011·黄冈月考)设an＝sin12＋sin222＋…＋sinn2n，则对任意正整数m，n(mn)都成立的是()A．|an－am|m·n2B．|an－am|m－n2C．|an－am|12nD．|an－am|12n9．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的重量，他将物体放在左右托盘各称一次，取两次称量结果分别为a、b.设物体的真实重量为G，则()A.a＋b2＝GB.a＋b2≤GC.a＋b2GD.abG10．设M＝1a－11b－11c－1，且a＋b＋c＝1(其中a，b，c为正实数)，则M的取值范围是()A.0，18B.18，1C．[1,8)D．[8，＋∞)11．(2011·许昌月考)对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是()A．[－2，＋∞)B．(－∞，－2)C．[－2,2]D．[0，＋∞)12．若实数x、y满足1x2＋1y2＝1，则x2＋2y2有()A．最大值3＋22B．最小值3＋22C．最大值6D．最小值6二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．关于x的不等式x2＋(a＋1)x＋ab0的解集是{x|x－1或x4}，则实数a、b的值分别为________．14．(2011·陕西)如图，点(x，y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x－y的最小值为________．15．(2011·汤阴模拟)已知正数a、b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围为____________，a＋b的取值范围是____________．16．(2011·山东)设函数f(x)＝xx＋2(x0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)解关于x的不等式31xxa-+≤1a(其中a0且a≠1)．18．(12分)(2011·惠州月考)函数f(x)对一切实数x，y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0.(1)求f(0)；(2)求f(x)；(3)当0x2时不等式f(x)ax－5恒成立，求a的取值范围．19．(12分)(2011·汕头月考)设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？20．(12分)(2011·嘉兴月考)某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？21．(12分)先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求证：a21＋a22≥12.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2，f(x)＝2x2－2(a1＋a2)x＋a21＋a22＝2x2－2x＋a21＋a22.因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－8(a21＋a22)≤0，从而得a21＋a22≥12.(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，请写出上述问题的推广式；(2)参考上述证法，对你推广的问题加以证明．22．(12分)(2009·山东)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，证明：对任意的n∈N*，不等式b1＋1b1·b2＋1b2·…·bn＋1bnn＋1成立．第七章章末检测1．A[∵x2＋x－60，∴－3x2，∴M＝{x|－3x2}．又∵N＝{x|1≤x≤3}，∴M∩N＝{x|1≤x2}．]2．D3．B[由基本不等式，得3a＋3b≥23a·3b＝23a＋b＝6，当且仅当a＝b＝1时取等号，所以3a＋3b的最小值是6.]4．A5．D[不等式转化为⇒1yx.]6．A[画出可行域如图：令z＝x＋y，可变为y＝－x＋z，作出目标函数线，平移目标函数线，显然过点A时z最大．由2x－y－3＝0，x－y＋1＝0得A(4,5)，∴zmax＝4＋5＝9.]7．C[由题意|4a－3×3＋1|5＝4，2a＋3－30，解得a＝－3.]8．C[|an－am|＝sinn＋12n＋1＋sinn＋22n＋2＋…＋sinm2m≤sinn＋12n＋1＋sinn＋22n＋2＋…＋sinm2m12n＋1＋12n＋2＋…＋12m＝12n＋1－12m＋11－12＝12n－12m12n.]9．C[设左、右臂长分别为l1、l2，则l1·G＝l2·a，①l2·G＝l1·b.②①×②，得G2＝ab，∴G＝ab.∵l1≠l2，故a≠b，a＋b2ab＝G.]10．D[∵M＝(1a－1)(1b－1)(1c－1)＝b＋ca·a＋cb·a＋bc≥2bca·2acb·2abc＝8，当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立．∴M≥8.]11．A[当x＝0时，对任意实数a，不等式都成立；当x≠0时，a≥－x2＋1|x|＝－|x|＋1|x|＝f(x)，问题等价于a≥f(x)max，∵f(x)max＝－2，故a≥－2.综上可知，a的取值范围是[－2，＋∞)．]12．B[x2＋2y2＝(x2＋2y2)·1＝(x2＋2y2)·1x2＋1y2＝1＋2y2x2＋x2y2＋2≥3＋22y2x2·x2y2＝3＋22，当且仅当2y2x2＝x2y2时等号成立．]13．－4,1解析由题意知，－1、4为方程x2＋(a＋1)x＋ab＝0的两根，∴a＋1＝－3，ab＝－4.∴a＝－4，b＝1.14．1解析令b＝2x－y，则y＝2x－b，如图所示，作斜率为2的平行线y＝2x－b，当经过点A时，直线在y轴上的截距最大，为－b，此时b＝2x－y取得最小值，为b＝2×1－1＝1.15．[9，＋∞)[6，＋∞)解析∵a＋b≥2ab，∴ab－3≥2ab.解得，ab≥3或ab≤－1(舍)，∴ab≥9，a＋b＝ab－3≥6.16.x2n－1x＋2n解析依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为an＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为bn＝2n.所以当n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝x2n－1x＋2n.17．解①当a1时，有x－3x＋1≤－1，∴x－3x＋2≤0，∴x2＋2x－3x≤0.∴x＋3x－1x≤0，∴x≤－3或0x≤1.(6分)②当0a1时，有x－3x＋1≥－1，∴x2＋2x－3x≥0.∴－3≤x0或x≥1.(8分)综上，当a1时，x∈(－∞，－3]∪(0,1]；当0a1时，x∈[－3,0)∪[1，＋∞)．(10分)18．解(1)令x＝1，y＝0，得f(1＋0)－f(0)＝(1＋2×0＋1)×1＝2，∴f(0)＝f(1)－2＝－2.(3分)(2)令y＝0，f(x＋0)－f(0)＝(x＋2×0＋1)·x＝x2＋x，∴f(x)＝x2＋x－2.(6分)(3)f(x)ax－5化为x2＋x－2ax－5，axx2＋x＋3，∵x∈(0,2)，∴ax2＋x＋3x＝1＋x＋3x.(8分)当x∈(0,2)时，1＋x＋3x≥1＋23，当且仅当x＝3x，即x＝3时取等号，由3∈(0,2)，得(1＋x＋3x)min＝1＋23.∴a1＋23.(12分)19．(1)证明方法一(反证法)若{Sn}是等比数列．则S22＝S1S3，即a21(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，(3分)∵a1≠0，∴(1＋q)2＝1＋q＋q2，∴q＝0.这与q≠0矛盾．∴{Sn}不是等比数列．(6分)方法二∵Sn＋1＝a1＋qSn，Sn＋2＝a1＋qSn＋1，∴SnSn＋2－S2n＋1＝Sn(a1＋qSn＋1)－(a1＋qSn)Sn＋1＝a1(Sn－Sn＋1)＝－a1an＋1≠0.故SnSn＋2≠S2n＋1，∴数列{Sn}不是等比数列．(6分)(2)解当q＝1时，{Sn}是等差数列．当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则S1，S2，S3成等差数列，即2S2＝S1＋S3.∴2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)(10分)由于a1≠0，∴2(1＋q)＝2＋q＋q2，∴q＝q2，∵q≠1，∴q＝0.这与q≠0矛盾，故当q≠1时，{Sn}不是等差数列．(12分)20．解设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知x＋y≤10，0.3x＋0.1y≤1.8，x≥0，y≥0.目标函数z＝x＋0.5y.(5分)上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直线l0的一组直线x＋0.5y＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x＋0.5y＝0的距离最大，这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．(9分)解方程组x＋y＝100.3x＋0.1y＝1.8，得x＝4，y＝6，此时zmax＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值．答投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．(12分)21．(1)解若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1.求证：a21＋a22＋…＋a2n≥1n.(4分)(2)证明构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a21＋a22＋…＋a2n＝nx2－2x＋a21＋a22＋…＋a2n.(8分)因为对一切x∈R，都有f(x)≥0，所以Δ＝4－4n(a21＋a22＋…＋a2n)≤0，从而证得a21＋a22＋…＋a2n≥1n.(12分)22．(1)解由题意：Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r.所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)，(3分)由于b0且b≠1，所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列．又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，所以bb－1b＋r＝b，所以r＝－1.(5分)(2)证明由(1)知an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N*)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n＋1