2014届高考数学(文科)名师指导(原创题押题练练中提能)【专题7】函数与导数【3】及答案

京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班1．(交汇新)已知函数f(x)＝alnx＋bx2图象上点P(1，f(1))处的切线方程为2x－y－3＝0.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)已知函数g(x)＝f(x)＋m－ln4，若方程g(x)＝0在1e，2上恰有两解，求实数m的取值范围．2．(背景新)已知函数f(x)＝13x3＋ax2＋bx，a，b∈R.(1)曲线C：y＝f(x)经过点P(1,2)，且曲线C在点P处的切线平行于直线y＝2x＋1，求a，b的值；(2)在(1)的条件下试求函数g(x)＝mfx－73x(m∈R，m≠0)的极小值；(3)若f(x)在区间(1,2)内存在两个极值点，求证：0＜a＋b＜2.[历炼]1．解析：(1)当x＝1时，f(1)＝2x－3＝－1.又∵f′(x)＝ax＋2bx，∴f′1＝a＋2b＝2，f1＝b＝－1⇒a＝4，b＝－1.京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班∴y＝f(x)＝4lnx－x2.(2)g(x)＝f(x)＋m－ln4＝4lnx－x2＋m－ln4，令g(x)＝0，得m＝x2－4lnx＋ln4，则此方程在1e，2上恰有两解．记φ(x)＝x2－4lnx＋ln4，φ′(x)＝2x－4x＝2x2－4x＝2x＋2x－2x＝0，得x＝2∈1e，2.在1e，2上，φ′(x)＜0，φ(x)单调递减；在(2，2)上，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增，又φ1e＝1e2＋4＋2ln2，φ(2)＝2－4ln2＋2ln2＝2，φ(2)＝4－4ln2＋2ln2＝4－2ln2，φ(x)的图象如图所示．由φ1e＞φ(2)，得2＜m≤4－2ln2.故m的取值范围是(2,4－2ln2]．2．解析：(1)f′(x)＝x2＋2ax＋b.京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班由题设知：f1＝13＋a＋b＝2，f′1＝1＋2a＋b＝2，解得a＝－23，b＝73.(2)由(1)知g(x)＝m3(x3－2x2)，g′(x)＝mxx－43.当m＞0时，g(x)在(－∞，0)，43，＋∞上递增，在0，43上递减，所以g(x)的极小值为g43＝－3281m；当m＜0时，g(x)在(－∞，0)，43，＋∞上递减，在0，43上递增，所以g(x)的极小值为g(0)＝0.(3)证明：因为f(x)在区间(1,2)内存在两个极值点，所以f′(x)＝0，即x2＋2ax＋b＝0在(1,2)内有两个不等的实根．∴f′1＝1＋2a＋b＞0，①f′2＝4＋4a＋b＞0，②1＜－a＜2，③Δ＝4a2－b＞0.④由①＋③得a＋b＞0，由④得a＋b＜a2＋a，由③得－2＜a＜－1.又a2＋a＝a＋122－14＜2，∴a＋b＜2.京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班故a＋b的取值范围是(0,2)．