2015届高考数学二轮复习专题检测三角函数三角恒等变形解三角形(含解析)

-1-2015届高考数学二轮复习专题检测：三角函数、三角恒等变形、解三角形本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·辽宁五校联考)已知cos(π2＋α)＝35，且α∈(π2，3π2)，则tanα＝()A．43B．34C．－34D．±34[答案]B[解析]因为cos(π2＋α)＝35，所以sinα＝－35，显然α在第三象限，所以cosα＝－45，故tanα＝34.2．(2015·襄阳四中、荆州中学、龙泉中学联考)已知角x的终边上一点的坐标为(sin5π6，cos5π6)，则角x的最小正值为()A．5π6B．5π3C．11π6D．2π3[答案]B[解析]∵sin5π6＝12，cos5π6＝－32，∴角x的终边经过点(12，－32)，tanx＝－3，∴x＝2kπ＋5π3，k∈Z.∴角x的最小正值为5π3.3．(文)已知tanα2＝2，则6sinα＋cosα3sinα－2cosα的值为()A．76B．7C．－67D．－7[答案]A-2-[解析]由已知得tanα＝2tanα21－tan2α2＝－43，故6sinα＋cosα3sinα－2cosα＝6tanα＋13tanα－2＝76.(理)已知函数f(x)＝sinx－cosx且f′(x)＝2f(x),f′(x)是f(x)的导函数，则sin2x＝()A．13B．－35C．35D．－13[答案]C[解析]由f(x)＝sinx－cosx且f′(x)＝2f(x)得cosx＋sinx＝2sinx－2cosx，所以tanx＝3，sin2x＝2sinxcosxsin2x＋cos2x＝2tanx1＋tan2x＝610＝35，故选C．4．下列函数中，其中最小正周期为π，且图像关于直线x＝π3对称的是()A．y＝sin(2x－π3)B．y＝sin(2x－π6)C．y＝sin(2x＋π6)D．y＝sin(x2＋π6)[答案]B[解析]∵T＝π，∴ω＝2，排除D，把x＝π3代入A、B、C只有B中y取得最值，故选B．5．(文)(2015·黄山模拟)为了得到函数y＝sin(2x－π3)的图像，只需把函数y＝sin(2x＋π6)的图像()A．向左平移π4个长度单位B．向右平移π4个长度单位C．向左平移π2个长度单位D．向右平移π2个长度单位[答案]B[解析]y＝sin(2x＋π6)＝sin[2(x＋π12)]，y＝sin(2x－π3)＝sin[2(x－π6)]，∴只需将y＝sin(2x＋π6)向右平移π12＋π6＝π4个长度单位．-3-(理)(2015·黄山模拟)将函数y＝sin2x的图像向右平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得函数图像对应的解析式为()A．y＝sin(2x－π4)＋1B．y＝2cos2xC．y＝2sin2xD．y＝－cos2x[答案]C[解析]函数y＝sin2x的图像向右平移π4个单位得到y＝sin2(x－π4)＝sin(2x－π2)＝－cos2x，再向上平移1个单位，所得函数图像对应的解析式为y＝－cos2x＋1＝－(1－2sin2x)＋1＝2sin2x，选C．6.3cos10°－1sin170°＝()A．4B．2C．－2D．－4[答案]D[解析]3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10°＝3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝2sin10°－30°sin10°cos10°＝2sin－20°sin10°cos10°＝－2sin20°12sin20°＝－4，选D．7．(2014·合肥调研)在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)，则△ABC的形状一定是()A．等边三角形B．不含60°的等腰三角形C．钝角三角形D．直角三角形[答案]D[解析]sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)＝1－2cosAsinB，sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝1－2cosAsinB，所以sinAcosB＋cosAsinB＝1，即sin(A＋B)＝1，所以A＋B＝π2，故三角形为直角三角形．8．(2015·河南八校联考)将函数y＝3cosx＋sinx(x∈R)的图像向左平移m(m＞0)个长度单位后，所得到的图像关于原点对称，则m的最小值是()A．π12B．π6C．π3D．2π3[答案]D[解析]y＝3cosx＋sinx＝2sin(x＋π3)，向左平移m个单位得到y＝2sin(x＋m＋π3)，此函数为奇-4-函数，∴m＋π3＝kπ，k∈Z，∵m0，∴m的最小值为2π3.9．(2015·济南一模)△ABC中，∠A＝30°，AB＝3，BC＝1，则△ABC的面积等于()A．32B．34C．32或3D．32或34[答案]D[解析]由余弦定理cosA＝AB2＋AC2－BC22AB·AC，代入各值整理可得AC2－3AC＋2＝0，解得AC＝1或AC＝2三角形面积S＝12AB·AC·sinA所以面积为32或34.10．(2015·洛阳统考)设函数f(x)＝|cosx|＋|sinx|，下列四个结论正确的是()①f(x)是奇函数；②f(x)的图像关于直线x＝3π4对称；③当x∈[0,2π]时，f(x)∈[1，2]；④当x∈[0，π2]时，f(x)单调递增．A．①③B．②④C．③④D．②③[答案]D[解析]对于①，注意到f(－x)＝f(x)，因此函数f(x)是偶函数，①不正确；对于②，注意到f(3π2－x)＝|cos(3π2－x)|＋|sin(3π2－x)|＝|sinx|＋|cosx|＝f(x)，因此函数f(x)的图像关于直线x＝3π4对称，②正确；对于③④，注意到f(x＋π2)＝|cos(x＋π2)|＋|sin(x＋π2)|＝|sinx|＋|cosx|＝f(x)，因此函数f(x)是以π2为周期的函数，当x∈[0，π2]时，f(x)＝|sinx|＋|cosx|＝sinx＋cosx＝2sin(x＋π4)的值域是[1，2]，故当x∈[0,2π]时，f(x)∈[1，2]，又f(π4)＝21＝f(π2)，因此f(x)在[0，π2]上不是增函数，故③正确，④不正确．综上所述，其中正确的结论是②③，选D．第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)11．已知α为第二象限角，则cosα1＋tan2α＋sinα1＋1tan2α＝________.[答案]0[解析]原式＝cosαsin2α＋cos2αcos2α＋sinαsin2α＋cos2αsin2α＝cosα1|cosα|＋sinα1|sinα|，因为α是第二象限，所以sinα0，cosα0，所以cosx1|cosα|＋sinα1|sinα|＝－1＋1＝0，即原式等于0.-5-12．(2014·新课标Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值为________．[答案]1[解析]本题考查两角和正弦公式、二倍角公式，三角函数的最值的求法．∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)·cosφ＋cos(x＋φ)·sinφ－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)·cosφ－cos(x＋φ)·sinφ＝sinx≤1.∴最大值为1.13．(2015·九江模拟)已知函数f(x)＝sin(2x＋π6)，其中x∈[－π6，α]．当α＝π3时，f(x)的值域是________；若f(x)的值域是[－12，1]，则α的取值范围是________．[答案][－12，1][π6，π2][解析]若－π6≤x≤π3，则－π3≤2x≤2π3，－π6≤2x＋π6≤5π6，此时－12≤sin(2x＋π6)≤1，即f(x)的值域是[－12，1]．若－π6≤x≤α，则－π3≤2x≤2α，－π6≤2x＋π6≤2α＋π6.因为当2x＋π6＝－π6或2x＋π6＝7π6时，sin(2x＋π6)＝－12，所以要使f(x)的值域是[－12，1]，则有π2≤2α＋π6≤7π6，即π3≤2α≤π，所以π6≤α≤π2，即α的取值范围是[π6，π2]．14．△ABC中，A满足条件3sinA＋cosA＝1，AB＝2cm，BC＝23cm，则A＝________，△ABC的面积等于________cm2.[答案]2π33[解析]由3sinA＋cosA＝1得2sin(A＋π6)＝1，∴A＋π6＝5π6，即A＝23π，由BCsinA＝ABsinC得sinC＝ABsinABC＝2×3223＝12，所以C＝π6，则B＝π6.S△ABC＝12AB×BCsinB＝3(cm2)．-6-15．把函数y＝sin2x的图像沿x轴向左平移π6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y＝f(x)图像，对于函数y＝f(x)有以下四个判断：①该函数的解析式为y＝2sin(2x＋π6)；②该函数图像关于点(π3，0)对称；③该函数在[0，π6]上是增函数；④函数y＝f(x)＋a在[0，π2]上的最小值为3，则a＝23.其中，正确判断的序号是________．[答案]②④[解析]将函数向左平移π6得到y＝sin2(x＋π6)＝sin(2x＋π3)，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y＝2sin(2x＋π3)，即y＝f(x)＝2sin(2x＋π3)，所以①不正确．y＝f(π3)＝2sin(2×π3＋π3)＝2sinπ＝0，所以函数图像关于点(π3，0)对称，所以②正确．由－π2＋2kπ≤2x＋π3≤π2＋2kπ，k∈Z，得－5π12＋kπ≤x≤π12＋kπ，k∈Z,即函数的单调增区间为[－5π12＋kπ，π12＋kπ]，k∈Z，当k＝0时，增区间为[－5π12，π12]，所以③不正确.y＝f(x)＋a＝2sin(2x＋π3)＋a，当0≤x≤π2时，π3≤2x＋π3≤4π3，所以当2x＋π6＝4π3时，函数值最小为y＝2sin4π3＋a＝－3＋a＝3，所以a＝23，所以④正确．所以正确的命题为②④.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)(文)已知关于x的方程2x2－(3＋1)x＋m＝0的两根为sinθ和cosθ，且θ∈(0,2π)，求：(1)sin2θsinθ－cosθ＋cosθ1－tanθ的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时θ的值．[解析](1)原式＝sin2θsinθ－cosθ＋cosθ1－sinθcosθ＝sin2θsinθ－cosθ＋cos2θcosθ－sinθ＝sin2θ－cos2θsinθ－cosθ＝sinθ＋cosθ.由条件知sinθ＋cosθ＝3＋12，故sin2θsinθ－cosθ＋cosθ1－tanθ＝3＋12.(2)由sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝1＋2sinθcosθ-7-＝(sinθ＋cosθ)2，得1＋m＝(3＋12)2，即m＝32.(3)由sinθ＋cosθ＝3＋12，sinθ·cosθ＝34得sinθ＝32，cosθ＝12或sinθ＝12，cosθ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π6或θ＝π3.(理)已知函数f(x)＝－cos2x－sinx＋1.(1)求函数f(x)的最小值；(2)若f(α)＝516，求cos2α的值．[解析](1)因为f(x)＝－cos2x－sinx＋1＝sin2x－sinx＝(sinx－12)2－14，又sinx∈[－1,1]，所以当sinx＝12时，函数f(x)的最小值为－14.(2)由(1)得(sinα－12)2－14＝516，所以(sinα－12)2＝916.于是sinθ＝54(舍)或sinα＝－14.故cos2α＝1－2sin2α＝1－2(－14)2＝78.17．(本小题满分12分)(文)已知函数f(x)＝3sin2x＋2sinxcosx＋cos2x－2.(1)求f(π4)的值