不可不知的倒角

不可不知的倒角一、基础知识1.角度的相关知识等角：角平分线，等腰三角形底角，对顶角，平行线同位角、内错角，同角、等角的余角或补角，同弧、等弧圆周角，余角（补角）：垂直，直角三角形，共线，平行线同旁内角，三角形内角和，外角等于内对角转换：全等三角形，相似三角形，圆周角与圆心角倒角（1）题目已知条件（如角度，角分线，垂直，平行）（2）最基本的等角（角分线，对顶角，同角余角，）（2）特殊三角形内角（等腰三角形，直角三角形，含已知角的三角形）（3）位置关系（平行、垂直）（4）等量转化（相似、全等对应角，圆周角圆心角）2方法：（a）路径法（b）计算法二、∠A=∠B的方法解析1.路径法——倒角最基本的方法路径法的基本步骤是首先识别∠A与∠B各是上述六类角度中的哪一类角，然后利用等角或者余、补角关系，把∠A、∠B分别转化为相应的∠A1、∠B1，然后继续转化∠A1、∠B1,，如果角度无法转换，从上一步重新出发，寻找新的转换路径。最后将转换的角度还原到题目条件中，即可完成角度相等的证明。路径法中最重要的是（1）识别角度身份（2）寻找倒角路径路径法是倒角的基础，但具体的问题也会有倒角的具体注意事项【例一】如图，在△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ABC，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，求∠CDF度数【例二】如图，AB是圆O的直径，D是弧AC的中点，已知∠A=40°，求∠CBD的度数【分析】从所需要的∠CDF出发，需要求∠CDF的度数，只要知道∠FCD，而∠FCD可以由∠CED（74°）求出，∠CED由可以由∠A（40°）和∠ACE（34°）求出。【分析】从∠CBD出发，∠CBD是圆周角，利用等弧，发现∠DBA=∠CBD。从题目条件出发，AB是直径，∠C=90°，∠A=40°，所以∠CBA=50°，所以∠CBD=25°【分析】∠DCB=∠DBC=15°，导出∠DBA=75°，∠DAB=30°，所以∠DAC=15°【思考】需要给出∠DCB=15°的条件吗？2.方程法【练习】（3）等腰直角三角形ABC中，B为顶点，AB=BC，D为△ABC内部一点，CD=BD，AD=AB，已知∠DCB=15°。则∠DAC=__________（2）AB∥CD，E是AB上一点，EF平分∠CEB交CD于F，若∠BEF=70°，则∠C=_________（6）过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的延长线于点D。若∠D=40°。∠A=_______（1）直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，∠BOE=54°，∠AOC=_______（5）AM为⊙O的切线，A为切点，BD⊥AM于点D，BD交⊙O于点C，OC平分∠AOB，则∠COD=______（4）OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，D是⊙O上一点，若∠ADC=26°，则∠AOB=_________遇到如果题目中给出的角度关系与归纳的六类角度没有关系的时候，往往可以设其中一个角的度数为α，然后用α表示剩余的角度，最后通过方程求解α或角度关系【例三】△ABC中，AC=BC，D是BC上的一点，且满足2∠BAD=∠C，求证：AD⊥BC错误!未找到引用源。【分析】“2∠BAD=∠C”属于题目条件提供的特殊角度关系。所以利用方程法，设∠BAD=α，则∠C=2α，∠ABD=（180°-2α）/2。可以得到∠BAD+∠ABD=90°（1）△ABC中，E是AC上一点，且AE=AB，2∠EBC=∠A，求证：BC⊥AB（3）AB是⊙O的弦，D为AO上一点，过D作CD⊥OA交弦AB于E点，CE=CB，求证：∠OBC=90°（2）已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB。求证：PC⊥OC3.圆的倒角中考第20题中常见的圆的证明部分，经常需要进行倒角，倒角时有两个常见的条件。直径所对圆周角是直角两个半径构成的三角形等腰，而且其顶角是圆心角，底角是圆周角【练习】5.利用相似全等对应角倒角得到一对相似三角形后，如果有倒角，常用三角形外角和内角和来进行计算。【例四】AB是O⊙的直径，C是O⊙上一点，ODBC⊥于点D，过点C作O⊙的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．求证：BE与O⊙相切【分析】要证相切，只有切线和半径垂直这一种判定方法。题目中出现了直径，考虑补全直径所对的圆周角。同时，由于C点有相切的条件，所以要连接OC，△OBC正好又是一个两个半径构成的等腰三角形。【练习】（1）△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过D作FE⊥AB于点E，交AC延长线于点F，求证EF于⊙O相切（2）Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连结DE，求证：DE与⊙O相切4.相似全等证明中的倒角证明全等相似，往往有一对角相等比较难以证明，通常采用的都是把角度拆分，或者设成未知数的方法来进行证明。【例五】D是△ABC中AB边的中点，△BCE和△ACF都是等边三角形，M、N、G、H分别为所在边的中点，求证：△MND≌△MCH，△MCH≌△DGH【分析】边长关系可以直接由中点和中位线导出，角度关系则要路径法或方程法倒角。【例六】AB=2BC，AE=AB，D为AB中点，∠EAD=120°，∠B=120°，求证（1）△EAD≌△ABC（2）求∠EFA的度数