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浙江省杭州市2016年高考数学二模试卷（文科）（解析版）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．设集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={y|y=x2﹣2x}，则A∩B=（）A．[﹣1，2]B．[0，2]C．[﹣1，+∞）D．[0，+∞）2．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，且俯视图为正三角形，则该几何体的体积等于（）A．3cm3B．6cm3C．cm3D．9cm33．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则“a2＞0且a1＞0”是“数列{Sn}单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．若直线x=m（m＞1）与函数f（x）=logax，g（x）=logbx的图象及x轴分别交于A，B，C三点，若=2，则（）A．b=a2B．a=b2C．b=a3D．a=b35．函数f（x）=3sin（x∈R）的最大值等于（）A．5B．C．D．26．△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，D是AB的中点，E，F分别是边BC、AC上的动点，且EF=1，则的最小值等于（）A．B．C．D．7．设双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的顶点为A1，A2，P为双曲线上一点，直线PA1交双曲线C的一条渐近线于M点，直线A2M和A2P的斜率分别为k1，k2，若A2M⊥PA1且k1+4k2=0，则双曲线C离心率为（）A．2B．C．D．48．设函数f（x）与g（x）的定义域为R，且f（x）单调递增，F（x）=f（x）+g（x），G（x）=f（x）﹣g（x）．若对任意x1，x2∈R（x1≠x2），不等式[f（x1）﹣f（x2）]2＞[g（x1）﹣g（x2）]2恒成立．则（）A．F（x），G（x）都是增函数B．F（x），G（x）都是减函数C．F（x）是增函数，G（x）是减函数D．F（x）是减函数，G（x）是增函数二、填空题（共7小题，每小题6分，满分42分）9．计算：2log510+log5=，2=．10．设函数f（x）=2sin（2x+）（x∈R），则最小正周期T=；单调递增区间是．11．在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点，则异面直线BE与B1D1所成角的余弦值等于，若正方体边长为1，则四面体B﹣EB1D1的体积为．12．若实数x，y满足，则x的取值范围是，|x|+|y|的取值范围是．13．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A，B在抛物线上，且∠AFB=120°，过弦AB中点M作准线l的垂线，垂足为M1，则的最大值为．14．设实数a，b满足0≤a，b≤8，且b2=16+a2，则b﹣a的最大值为．15．定义min{a，b}=，则不等式min{x+，4}≥8min{x，}的解集是．三、解答题（共5小题，满分68分）16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若msinA=sinB+sinC（m∈R）．（I）当m=3时，求cosA的最小值；（Ⅱ）当A=时，求m的取值范围．17．在底面是正三角形的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1⊥平面ABC，E，F分别为BB1，AC的中点．（1）求证：BF∥平面A1EC；（2）若AA1=2，求二面角C﹣EA1﹣A的大小．18．设公差不为0的等差数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，且，，成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式及Sn；（2）设bn=，tn=，且Bn，Tn分别为数列{bn}，{tn}的前n项和，比较Bn与Tn+的大小．19．设函数f（x）=|x2﹣a|﹣ax﹣1（a∈R）．（I）若函数y=f（x）在R上恰有四个不同的零点，求a的取值范围；（Ⅱ）若函数y=f（x）在[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式．20．设抛物线Γ：y2=2px（p＞0）上的点M（x0，4）到焦点F的距离|MF|=．（1）求抛物线Γ的方程；（2）过点F的直线l与抛物线T相交于A，B两点，线段AB的垂直平分线l′与抛物线Γ相交于C，D两点，若=0，求直线l的方程．2016年浙江省杭州市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．设集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={y|y=x2﹣2x}，则A∩B=（）A．[﹣1，2]B．[0，2]C．[﹣1，+∞）D．[0，+∞）【分析】分别求出集合A、B的范围，取交集即可．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x≤0}=[0，2]，B={y|y=x2﹣2x}={y|y≥﹣1}，则A∩B=[0，2]．【点评】本题考查了解不等式问题，考查集合的运算，是一道基础题．2．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，且俯视图为正三角形，则该几何体的体积等于（）A．3cm3B．6cm3C．cm3D．9cm3【分析】由三视图可知：该几何体是由有关三棱柱截去一个三棱锥剩下的几何体．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由有关三棱柱截去一个三棱锥剩下的几何体．∴该几何体的体积V=×4﹣=cm3．故选：C．【点评】本题考查了三视图的有关知识、三棱柱与三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则“a2＞0且a1＞0”是“数列{Sn}单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】设等差数列{an}的公差为d，d≠0．可得：Sn=na1+d=﹣，数列{Sn}单调递增，可得d＞0，≤1，因此d+2a1≥0．由a2＞0且a1＞0，可得a2=a1+d＞0．即可判断出结论．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，d≠0．Sn=na1+d=n2+=﹣，∵数列{Sn}单调递增，∴d＞0，≤1，可得d+2a1≥0．由a2＞0且a1＞0，可得a2=a1+d＞0．∴“a2＞0且a1＞0”是“数列{Sn}单调递增”的既不充分又不必要条件．故选：D．【点评】本题考查了函数的性质、不等式的性质、等差数列的通项公式及其前n项和公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．若直线x=m（m＞1）与函数f（x）=logax，g（x）=logbx的图象及x轴分别交于A，B，C三点，若=2，则（）A．b=a2B．a=b2C．b=a3D．a=b3【分析】根据函数图象，由=2，可知，，则，则x=m时，f（m）=3g（m），代入函数求值，求得a、b的关系．【解答】解：由函数图象可知由=2，则，则A的坐标为（m，3g（m）），将A点坐标代入得：logam=3logbm，即，由函数的性质可知b=a3，故答案选：C．【点评】本题考查对数函数的性质及其应用，对函数图象的理解，属于基础题．5．函数f（x）=3sin（x∈R）的最大值等于（）A．5B．C．D．2【分析】借助二倍角公式和辅助角公式，化简f（x）为一个三角函数式，由此得到最大值．【解答】解：∵f（x）=3sin（x∈R），=sinx+2cosx+2=（sinx+cosx）+2，=sin（x+φ）+2，其中sinφ=，cosφ=，∴函数f（x）的最大值为，故选：B【点评】本题考查函数式的化简，借助二倍角公式和辅助角公式．6．△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，D是AB的中点，E，F分别是边BC、AC上的动点，且EF=1，则的最小值等于（）A．B．C．D．【分析】建立平面直角坐标系，设E（x，0），求出的坐标，则可表示为x的函数，利用函数的性质得出最小值．【解答】解：以三角形的直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：则A（0，4），B（3，0），C（0，0），D（，2）．设E（x，0），则F（0，）.0≤x≤1．∴=（x﹣，﹣2），=（﹣，）．∴=﹣+4﹣2=﹣﹣2．令f（x）=﹣﹣2，则f′（x）=﹣+．令f′（x）=0得x=．当0≤x时，f′（x）＜0，当＜x＜1时，f′（x）＞0．∴当x=时，f（x）取得最小值f（）=．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系是解题关键，属于中档题．7．设双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的顶点为A1，A2，P为双曲线上一点，直线PA1交双曲线C的一条渐近线于M点，直线A2M和A2P的斜率分别为k1，k2，若A2M⊥PA1且k1+4k2=0，则双曲线C离心率为（）A．2B．C．D．4【分析】设P（m，n），即有﹣=1，即为=，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及直线的斜率公式，化简整理，结合离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设P（m，n），即有﹣=1，即为=，由A1（﹣a，0），A2（a，0），A2M⊥PA1，可得PA1的斜率为=﹣，可得PA2的斜率为=k2=﹣k1，两式相乘可得，=，即有=，即为b=a，c==a，即有e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用点满足双曲线的方程，以及直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．8．设函数f（x）与g（x）的定义域为R，且f（x）单调递增，F（x）=f（x）+g（x），G（x）=f（x）﹣g（x）．若对任意x1，x2∈R（x1≠x2），不等式[f（x1）﹣f（x2）]2＞[g（x1）﹣g（x2）]2恒成立．则（）A．F（x），G（x）都是增函数B．F（x），G（x）都是减函数C．F（x）是增函数，G（x）是减函数D．F（x）是减函数，G（x）是增函数【分析】根据题意，不妨设x1＞x2，f（x）单调递增，可得出f（x1）﹣f（x2）＞g（x1）﹣g（x2），且f（x1）﹣f（x2）＞﹣g（x1）+g（x2），根据单调性的定义证明即可．【解答】解：对任意x1，x2∈R（x1≠x2），不等式[f（x1）﹣f（x2）]2＞[g（x1）﹣g（x2）]2恒成立，不妨设x1＞x2，f（x）单调递增，∴f（x1）﹣f（x2）＞g（x1）﹣g（x2），且f（x1）﹣f（x2）＞﹣g（x1）+g（x2），∴F（x1）=f（x1）+g（x1），F（x2）=f（x2）+g（x2），∴F（x1）﹣F（x2）=f（x1）+g（x1）﹣f（x2）﹣g（x2）=f（x1）﹣f（x2）﹣（g（x2）﹣g（x1）＞0，∴F（x）为增函数；同理可证G（x）为增函数，故选A．【点评】考查了对绝对值不等式的理解和利用定义证明函数的单调性．二、填空题（共7小题，每小题6分，满分42分）9．计算：2log510+log5=2，2=．【分析】利用对数的运算性质、对数恒等式即可得出．【解答】解：2log510+log5===2，2==．故答案分别为：2；．【点评】本题考查了对数的运算性质、对数恒等式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．设函数f（x）=2sin（2x+）（x∈R），则最小正周期T=π；单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．【分析】由条件利用正弦函数的周期性和单调性，可得结论．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（2x+）（x∈R），则最小正周期T==π，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，故答案为：π；[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性和单调性，属于基础题．11．在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点，则异面直线BE与B1D1所成角的余弦值等于，若正方体边长为1，则四面体B﹣EB1D1的体积为．【分析】取CC1中点F，连接D1F，B1F，则BE∥D1F，故∠B1D1F为异面直线BE与B1D1所成的角．在△B1D1F中求出三边长，利用余弦定理或等腰三角形知识求出cos∠B1D1F，四面体B﹣EB1D1的体积等于三棱锥D1﹣BB1E的体积．【解答】解：取CC1中点F，连接D1F，B1F，则BED1F，∴∠B1D1F为异面直线BE与B1D1所成的角．设正方体棱长为1，则B1D1=，B1F=D1F==．∴cos∠B1D1F==．V=V===．故答案为：，．【点评】本题考查了正方体的结构特征，空间角的计算，棱锥的体积计算，属于中档题．12．若实数x，y满足，则x的取值范围是[