解三角形经典例题

解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理【典型题剖析】考察点1：利用正弦定理解三角形例1在ABC中，已知A:B:C=1:2:3,求a:b:c.【点拨】本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式a:b:c=sinA:sinB:sinC求解。解：::1:2:3,A.,,,63213::sin:sin:sinsin:sin:sin::11:3:2.63222ABCBCABCabABC而【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。例2在ABC中，已知c=2+6，C=30°，求a+b的取值范围。【点拨】此题可先运用正弦定理将a+b表示为某个角的三角函数，然后再求解。解：∵C=30°，c=2+6，∴由正弦定理得：26,sinsinsinsin30abcABC∴a=2(2+6)sinA,b=2(2+6)sinB=2(2+6)sin（150°-A）.∴a+b=2(2+6)[sinA+sin(150°-A)]=2(2+6)·2sin75°·cos(75°-A)=226cos(75°-A)①当75°-A=0°，即A=75°时，a+b取得最大值226=8+43；②∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A＜150°，∴0°＜A＜150°,∴-75°＜75°-A＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1，∴＞226cos75°=226×624=2+6.综合①②可得a+b的取值范围为(2+6,8+43考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3在△ABC中，2a·tanB=2b·tanA，判断三角形ABC的形状。【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC的形状。解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB得：22sinsin2Rsin2RsincoscosBAABBA,sincossincos,AABB即sin2sin2AB，2222ABAB或，2ABAB或.∴ABC为等腰三角形或直角三角形。【解题策略】“在△ABC中，由sin2sin2AB得∠A=∠B”是常犯的错误，应认真体会上述解答过程中“∠A=∠B或∠A+∠B=2”的导出过程。例4在△ABC中，如果lglglgsinlg2acB，并且B为锐角，试判断此三角形的形状。【点拨】通过正弦定理把边的形式转化为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断△ABC的形状。解：2lgsinlg2,sin2BB.又∵B为锐角，∴B=45°.由2lglglg2,.2caca得由正弦定理，得sin2sin2AC,∵18045,AC代入上式得：2sin2sin135CC2sin135coscos135sinCC2cos2sin,CCcos0,90,45.CCAABC为等腰直角三角形。考察点3：利用正弦定理证明三角恒等式例5在△ABC中，求证2222220coscoscoscoscoscosabbccaABBCCA.【点拨】观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将222abc，，转化为222sin,sin,sinABC.证明：由正弦定理的变式a2sin,2sinRAbRB得：2222224sin4sin=coscoscoscosabRARBABAB2224[coscos]coscosRAB（1-A）-(1-B)222(coscos)4(coscos)coscosBARBAAB同理2222224(coscos),coscos4(coscos).coscosbcRCBBCcaRACCA2=4(coscoscoscoscoscos)0RBACBAC左边右边等式成立。【解题策略】在三角形中，解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行边角互化，然后利用三角知识去解决，要注意体会其中的转化与化归思想的应用。例6在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，C=2B，求证22cbab.【点拨】本题考查正弦定理与倍角公式的综合应用.证明：180,180.ABCBCA2,.CBCBB又sin()sin(180)sin,BCAA2222222224(sinsin)4(sinsin)(sinsin)42sincos2cossin22224sin()sin()4sinsin.cbRCBRCBCBBCCBBCCBRRCBCBRABab右边等式成立.【解题策略】有关三角形的证明题中，要充分利用三角形本身所具有的性质。,,,2222222.ABCABCABCABC（1）(2)sin()sin,cos()cos,tan()tan.ABCABCABC(3)sincos,cossin,tan22222cot.2ABCABCABC(4)sin(22)sin2,cos(22)cos2,tan(22)tan2.ABCABCABC考察点4：求三角形的面积例7在△ABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，若252,,cos425BaC,求△ABC的面积S.【点拨】先利用三角公式求出sinB,sinA及边c，再求面积。解：由题意25cos25B，得23cos2cos1,25BB∴B为锐角，4372sin,sinsin()sin(),5410BABCB由正弦定理得10,7c111048sin2.22757SacB【解题策略】在△ABC中，以下三角关系式在解答三角形问题时经常用到，要记准、记熟，并能灵活应用，,sin()sin,cos()cos;sin2ABABCABCABCcos,cossin.222CABC例8已知△ABC中a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，△ABC的外接圆半径为12，且3C,求△ABC的面积S的最大值。【点拨】本题主要考察正弦定理与三角形面积公示的综合应用。解：11sin2sin2sinsin22ABCSabCRARBC2233sinsin[cos()cos()]2RABRABAB231[cos()].22RABcos()1,ABAB当即时，2max3333()1441083.44ABCSR【解题策略】把三角形的面积公式和正弦定理相结合，通过讨论三角函数值的取值，求得面积的最大值。考察点5：与正弦定理有关的综合问题例9已知△ABC的内角A,B极其对边a,b满足cotcot,abaAbB求内角C【点拨】本题主要考察解三角形中的正弦定理、和差化积公式等基础知识，考察运算能力、分析能力和转化能力。解法1：cotcot,2sinsinababaAbBRAB且（R为△ABC的外接圆半径），sincoscossin,1sin21cos2.AABBABcos2cos20ABsin2sin22cos()sin().cos()sin()0,cos()0sin()0.ABABABABABABAB又或又∵A,B为三角形的内角，,2ABAB或22ABC当时，；当AB时，由已知得cot1,,.42AABC综上可知，内角2C.解法2：由cotcotabaAbB及正弦定理得，sinsin=coscosABAB，sincoscossinAABB，从而sincoscossincossinsincos,4444AABB即sin()sin().44AB又∵0＜A+B＜π，,44AB,.22ABC【解题策略】切化弦、边化角是三角关系化简的常用方法，熟练运用三角恒等变换公式是解题的关键。例10在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a,b,c,且c=10,cos4cos3AbBa，求a,b及△ABC的内切圆半径。【点拨】欲求边，应将已知条件中的边角统一，先求角再求边。解：coscossin,=,coscossinAbABBaBA由可得变形为sincossincos,sin2sin2AABBAB又,22,,2abABAB∴△ABC是直角三角形。由2221043,abba解得6,8.ab6810222abcABC的内切圆半径为r=【解题策略】解此类问题应注意定理与条件的综合应用。------------------------------------------『易错疑难辨析』易错点利用正弦定理解题时，出现漏解或增解【易错点辨析】本节知识在理解与运用中常出现的错误有：（1）已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，出现漏解或增解；（2）在判断三角形的形状时，出现漏解的情况。例1（1）在△ABC中，23,6,30,;abAB求（2）在△ABC中，23,2,60,;abAB求【错解】（1）由正弦定理得sinsin303sin6,60223ABbBa（2）由正弦定理得sinsin601sin2,30150223ABbBa或【点拨】（1）漏解，由3sin2B（0°＜B＜180°）可得60120B或因为b＞a,所以两解都存在。（2）增解。由1sin2B（0°＜B＜180°）可得30150B或，因为b＜a,根据三角形中大边对大角可知B＜A,所以150B不符合条件，应舍去。【正解】（1）由正弦定理得sinsin303sin6.223ABba又∵0°＜B＜180°60120B或（经检验都符合题意）（2）由正弦定理得sinsin601sin2.223ABba又∵0°＜B＜180°30150B或∵b＜a,根据三角形中大边对大角可知B＜A，150B不符合条件，应舍去，30B。易错点忽略三角形本身的隐含条件致错【易错点解析】解题过程中，忽略三角形本身的隐含条件，如内角和为180°等造成的错误。例2在△ABC中，若3,CB求cb的取值范围。【错解】由正弦定理得sinsin3sin(2)=sinsinsincCBBBbBBBsincos2cossin2sinBBBBB22cos22cos4cos1.BBB220cos114cos13,03cBBb【点拨】在上述解题过程中，得到了2=4cos1cBb后，忽略了三角形的内角和定理及隐含的,,ABC均为正角这一条件。【正解】由正弦定理可知sinsin3sin(2)=sinsinsincCBBBbBBBsincos2cossin2sinBBBBB22cos22cos4cos1.BBB=180ABC，3.CB∴0°＜B＜45°，22＜cosB＜1.∴1＜24cos1B＜3，故1＜cb＜3.--------------------------『高考真题评析』例1（2010·广东高考）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若1,3,2,abACB则sin_______C【命题立意】本题主要考察正弦定理和三角形中大边对大角的性质，解题的关键是确定角C的值。【点拨】在△ABC中，,ABC又2ACB，故3B，由正弦定理知sin1sin,2aBAb又a＜b，因此6BA从而可知2C，即sin1C。故填1.【名师点评】解三角形相关问题时，应灵活掌握边角关系，实现边角互化。例2（2010·北京高考）如图1-