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专题讲座第一章均值和方差的检验题一、参数假设检验的几个基本因素关于什么是参数假设检验，我们先看一个实际例子。“某班语文课教学采用研讨式方法后,对其中10名同学测验,平均成绩为85分。已知这个班过去测验成绩服从正态分布,其均值保持在82分左右,这意味着总体平均分是给定的,那么现在问采用研讨式方法后,其平均成绩是否和原来一致?”如果我们假设采用研讨式方法后的平均成绩和采用研讨式方法前的平均成绩一致,则需要判断这种假设对不对?如果对,对的把握性有多大?如果不对,那么平均成绩比原来是增加还是减少?当然,我们不能只看到85分高于82分就认为比原来高了,这是因为抽取样本时受到随机因素的干扰,我们不能以样本参数对总体参数进行单纯比较而简单地下结论。这个例子所反映问题的是:总体分布已知,对总体参数作假设,用统计理论来判断这一假设正确与否,统计学上称为参数假设检验。一般说来，进行假设检验应重点关注以下几个基本因素：其一，假设。假设分为参数假设和非参数假设.参数假设指总体分布已知,关于未知参数的假设,教育研究中用的最多的是已知总体服从正态分布,对总体均值,总体方差做出假设。例如,某校五年级学生期末语文成绩,方差在原有状况下不变,而均值在过去常规教学下为82分。为了提高教学质量,采用新的教学法后抽测10名同学,其平均成绩为85分,这时我们提出采用新教学法后总体均值为82分的假设,记为称为原假设或零假设,相对于,还要给出一个备选假设,记为对这个例子我们不提小于82这样的假设,这是因为这样的假设是没有根据的,原因在于样本均值85大于82。其二，假设检验。对于一个假设,我们关心的是“假设”是否成立。判断假设成立与否的方法叫假设检验，最简单的检验是显著性检验。例如，已知，对v.s.进行检验。其三，检验水平。当原假设正确时，若否定原假设犯错误的概率为，称为检验水平。一般地，取值为0.01,0.05和0.10，但常用的是＝0.05。其四，两类错误。统计学上有两类错误:第一类错误和第二类错误。第一类错误是,是正确的,但检验的结论却是否定,记其概率为实际上,显著性水平就是犯第一类错误的概率,取的越大,否定的可能性就越大。第二类错误是,是不对的,但检验结论却认为是正确的,记其概率为犯这两类错误的后果通常是不一样的,如检验某人是否患某种疾病,设:该人患有此种疾病，则第二类错误是无病当作有病，但第一类错误却是有病当作无病，有可能使该人延误病情而发生意外。可见犯第一类错误的后果较第二类错误的后果严重。最理想的情况是找到一种检验方法使得两类错误的概率都为0，但实际情况是当样本量事先给定的情况下，第一类错误小，第二类错误就大；第二类错误小，第一类错误就大。也就是说不可能找到一个方法能同时控制两类错误，退而求其次，在样本量给定的情况下，把第一类错误控制在检验水平以内（常用的是＝0.05），尽量使第二类小一些。其五，检验的一般步骤。第一步：建立原假设v.s.备选假设＝not。第二步：构造一个检验统计量，在原假设正确的条件下得到的分布。第三步：由观测到的数据可以得到统计量的观测值t，计算p值p=P(||≥|t|)若p值小于检验水平，则得出的结论是：原假设是不成立的；若p大于检验水平，则得出的结论是：原假设是成立的；若p等于检验水平，则需要进一步采取别的方法来处理一下。二、总体均值、方差和概率的检验问题（一）总体均值的检验总体均值的检验方法有两种:检验和检验，这里我们主要介绍常用的t检验。利用服从分布的统计量进行的检验叫做检验.检验根据处理问题的不同主要涉及下面的三类检验问题。第一，单正态总体，总体方差未知，对总体均值进行检验。在实际应用中往往只知道总体服从正态分布，参数是未知的，常用的方法就是用样本方差作为的一个估计，从而构造t检验。设为来自正态总体的一个样本,未知,设假设问题为v.s.＝not.在成立条件下,T统计量服从t分布，见如下(3.1)其中为样本方差，为样本均值，为自由度。再由样本数据计算出T统计量的观测值值,在成立条件下计算p值p＝P(|T||t|)。若p值小于检验水平，则得出的结论是：总体均值与有显著差异；若p值大于检验水平，则得出的结论是：总体均值与没有显著差异；若p值等于检验水平，则需要进一步采取别的方法来处理一下。例1：由已往资料知道某区6岁女童平均体重为19.2kg,现从某幼儿园抽测10名女童其体重（kg）数据为20.1，19.0，19.2，20.5,18.5,19.0,21.0,19.5,19.0,18.0。问该幼儿园6岁女童平均体重与某区6岁女童平均体重有无显著差异？（设体重服从正态分布,检验水平＝0.05）。解：为样本量，未知，检验问题为v.s.＝not则T统计量服从自由度为9的t分布。由样本数据计算得p＝P(|T||t|)＝0.507.p值大于检验水平说明该幼儿园6岁女童平均体重与本区6岁女童平均体重无显著性差异。第二，方差，未知，但=，比较两总体均值和。设,分别来自正态总体,的两个独立样本,记，，检验问题为v.s.＝not。在成立条件下,构造统计量T,(3.2)给定检验水平,再由样本数据计算出T统计量的观测值值,在成立条件下计算p值p＝P(|T||t|)。若p值小于检验水平，则得出的结论是：总体均值和有显著差异；若p值大于检验水平，则得出的结论是：总体均值和没有显著差异；若p值等于检验水平，则需要进一步采取别的方法来处理一下。特别地，当时，称为配对数据，统计量为(3.3)上一页1234下一页专题讲座第一章均值和方差的检验题（一）总体均值的检验（续）例2：从某中学初三学生中随机选定两个组(每组10人)进行语文教学改革试验。甲组采用讨论式方法,乙组采用讲授式方法,期末测验甲组平均成绩为78分,方差为15分,乙组平均成绩为73分,方差为16分,问两种方法效果有无差异?()(设成绩服从正态分布。)解：,假定两个总体的方差相等。检验问题为v.s.＝not则T统计量服从自由度为18的t分布，由样本数据计算出T统计量的观测值值为p值为p＝P(|T||t|)＝0.015p值小于检验水平说明两种方法的教学效果有显著性差异。例3：某大学检查40名男新生平均体重为58.5公斤,方差为8.1公斤,30名女新生平均体重为48.0公斤,方差为7.4公斤,问男、女新生体重有无显著差异？()解：设男、女新生体重分别服从正态分布。假定.检验问题为v.s.＝not则T统计量服从自由度为68的t分布，由样本数据计算出T统计量的观测值值为。p值为p＝P(|T||t|)＝0p值小于检验水平说明男女新生体重有显著差异。第三，方差，未知且不一定相等，相关样本，比较两总体均值和。所谓相关样本是指两个样本在抽取时相互有依赖关系,具体是指两组试验对象情形相当,或同一组试验对象分为两种情形讨论。例如,要比较两种教材的实施效果,把学生有意识地分为情形相当的两组(人数配对)进行试验。又如，要对比期中和期末测验成绩,对同一组进行两次试验。这里要注意的是两个相关样本的容量一样,也就是说要求是配对数据。例4：附小三年级数学组为了提高学生速算能力,后半学期采用结构教材在10名学生中实验,其成绩见下表,问学生速算能力采用结构教材前后有无显著差异?(成绩服从正态分布，)。附小三年级学生采用结构教材前后成绩使用结构教材前使用结构教材后70744008290841660684006264224859273975750-4167470-4-864909551158624007278624总和40130解：设采用结构教材前成绩,采用结构教材后。样本,属同一组对象进行两次实验，故为相关样本。而差数服从正态分布，样本均值，其中为D的方差，为D的均值，由于，未知，故也未知.检验问题为：=0v.s.＝not在成立条件下，构造T统计量,则T统计量服从自由度为9的t分布，由样本数据计算出T统计量的观测值值为其中样本均值为样本方差为p值为p＝P(|T||t|)＝0.008p值小于检验水平说明采用结构教材前后速算能力有显著差异。（二）总体方差的检验总体方差的检验方法有两种：检验和检验。检验：利用分布统计量进行的检验叫做检验。在教育研究中,这类检验用于通过新的实验手段后,判断总体方差是否缩小或增大,从而达到了解学生之间成绩差距、智力差距是否缩小或增大等情况。检验主要是在正态总体,未知总体均值时，对总体方差的检验。检验问题为v.s.＝not在成立条件下,构造的统计量服从自由度为n－1的开方分布给定检验水平,再由样本数据计算出统计量的观测值x值,在成立条件下计算p值，若p值小于检验水平，则得出的结论是：总体方差和有显著差异；若p值大于检验水平，则得出的结论是：总体方差和没有显著差异；若p值等于检验水平，则需要进一步采取别的方法来处理一下。例5：某区学前班6岁儿童某项智力测定分数服从正态分布，由以往资料知保持左右，今从某区幼儿园抽取10名6岁儿童，经测定平均分数为8分，标准差为0.45分，问该幼儿园6岁儿童这项智力测定成绩方差有无变化？（）解：检验问题为v.s.＝not在成立条件下,构造的统计量服从自由度为9的开方分布。由样本数据计算出统计量的观测值为计算p值为0.47。p值大于检验水平说明该幼儿园6岁儿童这项智力测定成绩方差没有显著性变化.检验：利用分布统计量进行的检验叫做检验。检验用来检验当两正态总体均值未知，方差，未知时比较两正态总体方差和。设,分别来自正态总体的两个独立样本,记我们在检验中进行双正态总体，未知，，独立样本比较两总体均值和时，假定=。因此在进行这类问题的检验前，首检先要检验两总体方差是否一致，这就要用到验。检验问题为v.s.＝not在成立条件下,构造服从自由度为和的F分布的统计量其中为第一自由度，为第二自由度。给定检验水平,再由样本数据计算出F统计量的观测值f值,在成立条件下计算p值，若p值小于检验水平，则得出的结论是：总体方差和有显著差异；若p值大于检验水平，则得出的结论是：总体方差和没有显著差异；若p值等于检验水平，则需要进一步采取别的方法来处理一下。例6：利用例3的数据，检验问题为v.s.＝not在成立条件下,构造服从自由度为＝39和＝29的F分布的统计量由样本数据计算出F统计量的观测值f值在成立条件下计算p值＝0.58。p值大于检验水平说明男、女新生体重的方差无显著性差异。上一页1234下一页专题讲座第一章均值和方差的检验题（三）二项分布总体参数检验关于二项分布总体参数（比率）的假设检验在实际问题中也是非常有用的。单二项总体，关于总体比率的检验：设为来自二项分布总体的一个样本。检验问题为v.s.＝not.在成立条件下,构造U统计量服从标准正态分布其中为样本比率。给定检验水平,再由样本数据计算出U统计量的观测值u值,在成立条件下计算p值，p＝P(|U||u|)，若p值小于检验水平，则得出的结论是：总体比率和有显著差异；若p值大于检验水平，则得出的结论是：总体比率和没有显著差异；若p值等于检验水平，则需要进一步采取别的方法来处理一下。例7：某中学根据历年资料统计，约有的学生考上大学，2001年由于教学环节的改进，该校150名毕业生中有45人考上大学，问该校2001年升学率与已往对比有无显著差异？（）解：对每个毕业生来说或录取或不被录取，显然，录取的人数服从二项分布，录取率不被录取率检验问题为v.s.＝not.在成立条件下,构造U统计量服从标准正态分布由样本数据计算出U统计量的观测值u值在成立条件下计算p值，p＝P(|U||u|)＝0p值小于检验水平说明该校2001年升学率与已往对比有显著差异。比较两总体比率和：双总体比率差异是否显著有利于教育管理部门掌握教育动态和规律，从而制定可行的措施.例如，比较两地区儿童入学率的差异等等。例8：从某地城区和郊区初中毕业女生中，分别抽取100人和80人调查，其中城区100人中升入重点高中的有85人，而郊区80人中升入重点高中的只有58人.问城区和郊区初中毕业生女生中升入重点高中的比率有无明显差异？（）解：设X,Y分别为城区和郊区升入重点高中的