二次函数中几何图形周长的最值问题题型及解法

二次函数中几何图形周长的最值问题题型及解法目录一．二次函数中几何图形周长的最值问题考法分析以及学生对该题的态度二．基本题型及解法1一个动点在抛物线上求三角形周长的最大值含有45°角的直角三角形周长最大值的求法含有30°（或60°）角的直角三角形周长最大值的求法任意角的直角三角形周长最大值的求法2两个动点在抛物线上求四边形周长最大值3一个动点在一条直线上求三角形周长最小值4两个动点分别在两条相交直线上求三角形周长的最小值5两个动点分别在两条相交直线上求四边形周长的最小值三.方法总结第一部分二次函数中几何图形周长的最值问题考法分析以及学生对该题的态度1.根据历年重庆中考试卷分析来看，目前二次函数中几何图形周长的最值问题是必考部分，主要是考查学生点在抛物线上求几何图形的周长最大值的能力，以及点在直线上求几何图形的周长的最小值的能力（“将军饮马”模型的应用能力）。目前出现在中试卷的26题的第2小问，单独考的情况几乎没有，一般都是伴随面积的最值一起考考法和学生情况2.根据我市现目前考试题型来看，该部分是个重点，也是个难点，很大一部分学生对该部分望而生畏，几乎不敢动笔，分析了一下，其主要原因有两点：其一，因为此题涉及的解题过程比较繁杂，再加上思路不清晰，会花大量的时间思考，所以这部分学生就选择放弃了；另外的，还有部分学生是压根就不会做这类题，对解决该题没有思路，没有参考方向，所以根本不看这题。第二部分基本题型及解法例题1.一个动点在抛物线上求三角形周长的最大值45°角的直角三角形周长最大值的求法例1：（1）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．如图，点P是直线BC上方抛物线上一动点．过点P作PE平行y轴交BC于点E，作PF垂直BC交BC于点F，是否存在点P，使△PEF的周长最大？若存在，求出△PEF周长最大值，并求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；EF易知，△BOC≈△PFE，所以PEBCFEOCPFBOPEEFPF22因为OB=OC=3，所以所以C△PEF=PE)12(拓展：如图1,含有30°（或60°）角的直角三角形周长最大值的求法如图2，任意角的直角三角形周长最大值的求法如图1如图230°④任意角的非直角三角形周长最大值的求法例:（2）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣2x+3与轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式，并直接写出D点的坐标．（2）如图1，在直线AC的上方抛物线上有一动点P，过P点作PQ垂直于x轴交AC于点Q，PM∥BD交AC于点M．求△PQM周长最大值；N做法：过D点做DN//y轴,设BD与AC相交于点KK根据直线BD与AC易求出），（），，（21-N3831-K所以，PQ3253QMPMPQCPMQ△2.四边形周长最大值转化为线段最大值例2：（3）如图，抛物线y=-x2-2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点.（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边，当矩形PQMN的周长最大时，求△AEM的面积；F做法：1.过D点作对称轴，与PQ相交于点F2.C矩形PQNM=2(PQ+PM)=2(2DF+PM)3.一个动点在一条直线上求三角形周长最小值“将军饮马”模型——一次对称（两定点一动点）一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？河BAPQ1.作A点关于河岸的对称点对称点Q2.链接BQ与河岸的交点就是我们做要求的P点的位置3.连接AP4.此时的路程最短原理：两点之间线段最短.P’BP’+QP’BQ做法：例3：已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．如图，（1）在抛物线的对称轴上是否存在点G，使得△GAC的周长最小？若存在，求出△GAC的周长最小值，并求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；GG1.作A点关于对称轴的对称点对称点B2.链接CB与对称轴的交点就是我们做要求的G点的位置3.连接AG4.此时的△ACH的周长最小做法：（2）在直线BC上是否存在点H，使得△ACH的周长最小，若存在，求出△GAC的周长最小值，并求出点G的坐标；若不存在，请说明理由。HMH1.作A点关于直线BD的对称点对称点M2.链接CM与BD的交点就是我们做要求的H点的位置3.连接AH4.此时的△ACH的周长最小做法：4.两个动点分别在两条相交直线上求三角形周长的最小值“将军饮马”模型——两次对称（一定点两动点）如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地OM吃草，再牵马去河边ON喝水，最后回到驻地A，问：这位将军怎样走路程最短？A1PQA21.作A点关于直线OM的对称点对称点A12.作A点关于直线OM的对称点对称点A23.链接A1A2与OM，ON相交于点P，Q，此时的交点就是我们做要找的吃草和喝水的位置4.连接AP，AQ4.此时走的路程最短做法：例4：已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．如图，在直线BD和直线BC上是否分别存在点M、N，使得△AMN的周长最小？若存在，请求出△AMN周长最小值以及M、N的坐标；若不存在，请说明理由。A1A2MNEF1.作A点关于直线BD的对称点对称点A1，与BD相交于点E2.作A点关于直线BC的对称点对称点A2，与BD相交于点F3.链接A1A2与BD，BC相交于点M，N，此时的交点就是我们做要找的点的位置4.连接AM，AN5.此时走的路程最短做法：5.两个动点分别在两条相交直线上求四边形周长的最小值“将军饮马”模型——两次对称（两定点两动点）如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。ABB'A'QP1.作B点关于河岸的对称点对称点B12.作A点关于草坪边的对称点对称点A13.链接A1B1与河岸，草坪边相交于点P，Q，此时的交点就是我们做要找的点的位置4.连接BP，AQ5.此时走的路程最短做法：例5：已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．如图，若点C关于点B的对称点为点E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使得四边形DNME的周长最小？若存在，请求出M、N点的坐标，并求出DNME的周长最小值；若不存在，请说明理由。E‘D’NEM做法：1.作E点关于X轴的对称点对称点E’2.作D点关于y轴的对称点对称点D’3.链接D’E’与x轴，y轴相交于点M，N，此时的交点就是我们做要找的点的位置4.连接EM，DN5.此时四边形的周长最小第三部分方法总结5.运用相关知识和方法求出几何图形的最值方法总结1.审清题意，弄清楚是求最大值还是最小值，判断出哪些点是定点哪些点是动点，选取正确的解题方向2.若求最大值，利用线段之间的转化，将三角形周长转化为某条线段的最值3.若求最小值，找准定点所在的直线4.作定点关于动点所在直线的对称点，连接对应点，通过轴对称性质，将几何图形周长转化为线段和差最值问题，连线与动点所在直线的交点既是所找之点谢谢！教育是行善的智慧无忧是无畏的行者