向量法证明线面平行及垂直问题教案

龙文学校——您值得信赖的专业化个性化辅导学校龙文学校个性化辅导教案提纲教师：_______学生：_______年级：______授课时间：_____年___月___日_____——_____段一、授课目的与考点分析：向量法证明线面平行及垂直掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，会找直线的方向向量和平面的法向量，并通过它们研究线面关系，会用向量法求空间距离．二、授课内容及过程：考点1.利用空间向量证明空间垂直问题例1:已知三棱锥P－ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，PA=AC=12AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.证明：CM⊥SN；证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图，则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,12），N（12,0,0），S（1,12,0）111(1,1,),(,,0)222CMSN,因为110022CMSN，所以CM⊥SN.【点评】对坐标系易建立的空间线线垂直判定（证明）问题，常用向量法，即通过证明所证直线的方向向量的数量积为0证明两直线垂直.例2:在长方体1111ABCDABCD中，E、F分别是棱BC,1CC上的点，CF=AB=2CE,1::ABADAA=1:2:4.证明AF平面1AED解析：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设1AB,依题意得(0,2,0)D,(1,2,1)F,1(0,0,4)A,31,,02E已知(1,2,1)AF,131,,42EA,11,,02ED于是AF·1EA=0，AF·ED=0.因此，1AFEA,AFED,又1EAEDE所以AF平面1AED【点评】对坐标系易建立的空间线面垂直问题，通常用向量法，先求出平面的法向量和直线的方向向量，证明平面法向量与直线的方向向量平行或者直接用向量法证明直线与平面内两条相交直线垂直，再用线面垂直判定定理即可.例3：在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA平面ABCD，//PDMA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且2ADPDMA.求证：平面EFG平面PDC.解析：以A为原点，向量DA,AB,AM分别为x轴、y轴、z轴的正方向，如图建立坐标系，设AM=1，则AD=AB=PD=2,则B(0,2,0),C(－2,2,0),D(－2,0,0),P(－2,0,2),M(0,0,1),则E(0,1,12),G(－1,1,1),F(－2,1,1)，∴EG=(-1,0,12),GF=(－1,0,0),设平面EFG的法向量m=（x，y，z），则EGm=12xz=0且GFm=x=0，取y=1，则x=z=0，∴m=（0，1,0）,易证面PDC的法向量为DA=(2,0,0),∵DAm=200100=0,∴m⊥DA,∴平面EFG平面PDC【点评】对于易建立空间坐标系的面面垂直问题，常向量法，即先建立坐标系，求出两个平面的法向量，通过证明这两个平面的法向量垂直，即得面面垂直.考点2.利用空间向量处理空间平行关系例4:在正方体1111ABCDABCD，E是棱1DD的中点。在棱11CD上是否存在一点F，使1BF∥平面1ABE?证明你的结论。解析：以A为坐标原点，如图建立坐标系，设正方形的棱长为2，则B(2,0,0),E(0,2,1),1A(0,0,2),1B(2,0,2)，∴BE=(－2,2,1),1BA=（－2，0，2），设面1BEA的法向量为m=（x，y，z），则BEm=22xyz=0且1BAm=22xz=0，取x=1，则z=－1，y=32，∴m=（1，32，－1）,假设在棱11CD上存在一点F，使1BF∥平面1ABE，设F(0x，2，2)（0≤0x≤2）,则BF=（02x，2，2），则BFm=031(2)2(1)22x=0，解得0x=1，∴当F为11CD中点时，1BF∥平面1ABE.【点评】对于易建立坐标系的线面平行问题的向量解法，有两种思路：（1）用共面向量定理，证明直线的方向向量能用平面内两条相交直线的方向向量表示出来，即这三个向量共线，根据共面向量概念和直线在平面外，可得线面平行；（2）求出平面法向量，然后证明法向量与直线的方向向量垂直即可.对于探索性问题，通常先假设成立，设出相关点的坐标，利用相关知识，列出关于坐标的方程，若方程有解，则存在，否则不存在.注意，（1）设点的坐标时，利用点在某线段上，设出点分线段所成的比，用比表示坐标可以减少未知量，简化计算;(2)注意点的坐标的范围.例5在三棱柱111ABCABC中，侧棱垂直于底面，在底面ABC中ABC=090,D是BC上一点，且1AB∥面1ACD，1D为11BC的中点，求证：面11ABD∥面1ACD.龙文学校——您值得信赖的专业化个性化辅导学校解析：以B点为原点，如图建立坐标系，设AB=a，BC=2b，1BB=c，则A（a,0,0），1C(0，2b，c)，1B(0,0,c)，1A(a，0，c)，∴1D(0，b，c)，设D(0，0y，0)（0≤0y≤2b），∴AD=(－a，0y，0)，1AC=(－a，2b，c)，1BA=(a，0，c)，1BD=（0，b，c），设面1ACD的法向量为m=(1x，1y，1z)，则ADm=101axyy=0且1ACm=1112axbycz=0，取1y=a，则1x=0y，1z=02ayabc，则m=（0y，a，02ayabc），又∵1AB∥面1ACD，∴1BAm=002ayabaycc=0，解得0y=b，∴m=（b，a，abc），设面11ABD的法向量为n=(2x,2y,2z),则1BAn=22axcz=0且1BDn=22bycz=0，取2z=1，则2x=ca，2y=cb，则n=(ca，cb，1)，∴n=cabm，∴m∥n，∴面11ABD∥面1ACD.【点评】对面面平行问题的向量方解法有两种思路，（1）利用向量证明一个面内两条相交直线分别与另一个平面平行，根据面面判定定理即得；（2）求出两个平面的法向量，证明这两个法向量平行，则这两个面就平行.六、本次作业及点评：课后练习四、学生对本次课的评价：○特别满意○满意○一般○差学生签字：______________五、教师评定：1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差教师签字：_______________