第五节对面积的曲面积分 (2)

第五节对面积的曲面积分二、对面积曲面积分的计算法一、曲面面积（第十章第四节）G表示的几种几何形体以及其上的积分：D闭区间[a,b]L(平面有界闭区域)（平面有限曲线段）（有限曲面片）(空间有界闭区域)(空间有限曲线段)二重积分三重积分对弧长的曲线积分对面积的曲面积分当几何形体G为一光滑曲面时,相应的积分(,,)fxyzdS曲面面积元素积分曲面,,fxyz就是函数在曲面上的对面积的曲面积分(或第一类曲面积分)若积分曲面是封闭的，则相应的曲面积分记为(,,)fxyzdS(,,)fxyzdS计算对面积的曲面积分——化为二重积分,,xyz在上变化？曲面面积元素设有界闭曲面xyDxoy为在面上投影区域，,xyzxyD在上偏导数连续.对应的投影区域为,d,dS在上任取小曲面块MxyzoxyDdS一、曲面的面积d),(yx:,,,xyzzxyxyD，(,,(,)),MxyzxydS为上任一点(,,(,)).TdSMxyzxy为上过的切平面z以边界为准线，母线平行于轴的(,)zzxyd),(yxMdSxyzToTdA截切平面为，.dSdA曲面块切平面块dS小柱面截曲面为；dA()dSdAxoy与在面上的投影均为当很小时，则有的面积元素：,ddAxoy为在面上的投影cos,ddA221cos,1xyzz221xydSzzdAnz221xydAzzd切平(曲)面的法向量(,,1),xynff(02）dSdASdS221xydSzzd的面积元素：曲面的面积公式为：221xyxyDzzd计算对面积的曲面积分——化为二重积分,,xyz在上变化(,,)fxyzdS？,zzxy221xydSzzdxyxoyD向面投影曲面积分元素为对面积的曲面积分的计算公式为化为二重积分22,,,,,1xyxyDfxyzdSfxyzxyzzd221,,xydSzxyzxyd:,zzxy如果曲面的方程由x=x(y,z)或y=y(x,z)给出，也可类似地把对面积的曲面积分化为yoz面或xoz面上的二重积分。22,,,,,1yzyzDfxyzdsfxyzyzxxd22,,,,,1xzxzDfxyzdsfxyxzzyyd:,xxyz:,yyxz22221dSxyzaz计算，其中：hOxyzaaaxyD例1被平面截出的顶部.,0zhha曲面面积元素它在xoy面上的投影区域222zaxy的方程为解2222:xyDxyah222221xyadSzzddaxyOxyzaaahxyD222adSdaxy的面积元素=22222211xyDadSdzaxyaxy222xyDadxdyaxy2222200ahadda22Dadda2lnaah2222:xyDxyah222:,zaxyxyz111OxyD,xyzdS计算其中是三个坐标面和1xyz平面围成的四面体的整个边界曲面.例2解边界曲面由四块组成：1234它们的表达式分别是1200:,:,xy13243401:,:zxyz于是1234xyzdSxyzdS由于在,,0fxyzxyz所以30:z上,1230xyzdS10:,x20:,yxyz111OxyD1324围成的三角形.41,zxy在上：2213xydSzzdd4又在xoy面上的投影区域xyD001,,xyxy是由xyz111OxyD41xy10,10:xxyDxy4xyzdSxyzdS110031xxdxyxydy1231003123xyyxxdx3101336120xxdx2213xydSzzdd41,zxy在上：0101:,xyDyxx13xyDxyxyd例3计算，其中为圆柱面介于平面z=0和z=H(H0)yzD222dSxyz这样就需投影到yoz面上，解由于不能表示成z=z(x,y)的形式,且在第一卦限的部分.22xRy现写成xyzOHR投影区域为矩形:yzDHzRy0,0222Ryx又有于是0,22zyxyRyx22221yzRdSxxddydzRy22:xRy22222221yzDdSRdydzxyzRzRy2222001RHRdydzRzRy02201arctanRHRzdyRRRy2201arctanRHdyRRy而所以2201RdyRy2arcsinlim11RRRR222arctan.2dSHxyzR瑕积分1112201lim()RRRdyRRRy小结计算对面积的曲面积分——化为二重积分1.把积分曲面代入被积函数；2.根据积分曲面的不同的表示形式，求出曲面面积元素.3.将向相应的坐标面投影，得到二重积分的积分区域.(,,)fxyzdS,zzxy代入221xydSzzdxyxoyD向面投影:,zzxy若22,,,,,1xyxyDfxyzdSfxyzxyzzd22,,,,,1yzyzDfxyzdSfxyzyzxxd22,,,,,1xzxzDfxyzdsfxyxzzyyd:,xxyz2.若:,yyxz3.若:,zzxy1.若22,,,,,1xyxyDfxyzdSfxyzxyzzd作业p.158习题10-42;4;5;6.(2),(3);7.