第五节微分及其应用

第五节微分及其应用•一、微分的定义与几何意义•二、微分运算法则•三、微分在近似计算中的应用•四、小结一微分的定义与几何意义1、问题的提出实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.20xA0x0x,00xxx变到设边长由,20xA正方形面积2200()Axxx202().xxx)1()2(;,的主要部分且为的线性函数Ax.,很小时可忽略当的高阶无穷小xx:)1(:)2(xx2)(xxx0xx0再例如,.,03yxxxy求函数的改变量时为处的改变量在点设函数3300()yxxx2230033()().xxxxx)1()2(,很小时当x203.yxx),()2(xox的高阶无穷小是既容易计算又是较好的近似值问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?2、微分的定义定义.),(,)(,)(),()()()(,,)(000000000xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx即或记作的微分相应于自变量增量在点为函数并且称可微在点则称函数无关的常数是与其中成立如果在这区间内及在某区间内有定义设函数.的线性主部叫做函数增量微分ydy(微分的实质)由定义知:;)1(的线性函数是自变量的改变量xdy;)()2(高阶无穷小是比xxodyy;,0)3(是等价无穷小与时当ydyAdyyxAxo)(1).0(1x;)(,)4(0有关和但与无关的常数是与xxfxA).(,)5(线性主部很小时当dyyx3、可微的条件).(,)()(000xfAxxfxxf且处可导在点数可微的充要条件是函在点函数定理证(1)必要性,)(0可微在点xxf(),yAxox(),yoxAxxxxoAxyxx)(limlim00则.A).(,)(00xfAxxf且可导在点即函数(2)充分性),()(0xxxfy从而0(),yfxx即,)(0可导在点函数xxf00lim(),xyfxx),0(0x0()(),fxxox.)(,)(00Axfxxf且可微在点函数).(.0xfA可微可导.)(),(,,)(xxfdyxdfdyxxfy即或记作微分称为函数的的微分在任意点函数例1解.02.0,23时的微分当求函数xxxy3()dyxx23.xx2220.020.023xxxxdyxx0.24..,,xdxdxxx即记作称为自变量的微分的增量通常把自变量().dyfxdx().dyfxdx..微商导数也叫该函数的导数之商等于与自变量的微分即函数的微分dxdy4、微分的几何意义)(xfy0xMNTdyy)(xo）xyox几何意义:(如图).,对应的增量就是切线纵坐标坐标增量时是曲线的纵当dyyxx0P.,,MNMPMx可近似代替曲线段切线段的附近在点很小时当二、微分的求法dxxfdy)(求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式122()0()(sin)cos(cos)sin(tan)sec(cot)csc(sec)sectan(csc)csccotdCdxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxxdxdxxxdx2222()ln()11(log)(ln)ln11(arcsin)(arccos)1111(arctan)(cot)11xxxxadaaadxdeedxdxdxdxdxxaxdxdxdxdxxxdxdxdarcxdxxx2.函数和、差、积、商的微分法则2()()()()duvdudvdCuCduuvduudvduvvduudvdvv例2求函数在点x=0和x=1处的微分。解例3设，求。解xey/00()|xxxdyedxdxdx/11()|xxxdyedxedxdxcosyxdy''1()(cos)sinsin2dyfxdxxxdxxdxx例4解.),ln(2dyexyx求设2212,xxxeyxe2212.xxxedydxxe例5解.,cos31dyxeyx求设1313cos()(cos)xxdyxdeedx1313()3,(cos)sin.xxeexx1313cos(3)(sin)xxdyxedxexdx13(3cossin).xexxdx3、微分形式的不变性;)(,)1(dxxfdyx是自变量时若则微函数的可即另一变量是中间变量时若),(,)2(txtx),()(xfxfy有导数设函数dttxfdy)()(,)(dxdtt.)(dxxfdy结论：的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论)(,xfyx微分形式的不变性dxxfdy)(例7解.,sindybxeyax求设cos()sin()axaxdyebxdbxbxedaxcossin()axaxebxbdxbxeadx(cossin).axebbxabxdx例6解.),12sin(dyxy求设sin,21.yuuxcosdyuducos(21)(21)xdxcos(21)2xdx2cos(21).xdx例8解在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.2(1)()cos;(2)(sin)()().dtdtdxdx(1)(sin)cos,dttdt1cos(sin)tdtdt1(sin)cos.dtCtdt1(sin);dt22(sin)2cos(2)1()2dxxxdxdxdxx24cos,xxx22(sin)(4cos)().dxxxxdx三微分在近似计算1、函数的近似计算(1)．若函数y＝f(x)在点x0处可导，当自变量改变Δx时，写出函数在点x0处的微分dy和函数改变量Δy．dy＝f'(x0)Δx,y＝f(x0＋Δx)－f(x0)．提问在什么条件下可用dy近似代替Δy？为什么？因为dy和Δy相差一个比|Δx|变小的速度更快的量，即Δy－dy＝a·Δx，0lim0ax其中a满足所以当|Δx|很小的时候，可用dy近似代替Δy，即而|Δx|越小，近似程度越好．000()()()fxxfxfxx将(1)式移项，得再令x0＋Δx＝x此时x为变量，则有Δx＝x－x0，所以(2)变成如下的形式000()()()fxxfxfxx000()()()()fxfxfxxx(1)(2)(3)'0002002)()(),1)arctan.11,1.05,arctan1.05arctan(10.051arctan10.05110.050.81044200例9：计算arctan1.05的近似值。解：设f(x)=arctanx,利用式f(x有arctan(x这里于是有）xfxfxxxxxxxx例10证明如下近似公式：（1）；（2）。证（1）令，，当时，，由得，即（2）令，，当时，，由得，即。1xexln(1)xx()xfxe()xfxe0x(0)1,(0)1ff()(0)(0)fxffx()1fxx1xex()ln(1)fxx1()1fxx0x(0)0,(0)1ff(0)0,(0)1ff()(0)(0)fxffx()(0)(0)fxffx()fxx()fxxln(1)xxln(1)xx四、小结微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的增量问题微分的概念导数的概念求导数与微分的方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.导数与微分的联系:.可微可导1.2.导数与微分的区别:.,,,))((),()(.100000它是无穷小实际上的定义域是它的线性函数是而微分处的导数是一个定数在点函数Rxxxxxfdyxfxxf))((limlim0000xxxfdyxxxx.0.))(,()()()(,))(,()()(,.200000000的纵坐标增量线方程在点处的切在点是曲线而微分处切线的斜率点在是曲线从几何意义上来看xxfxxfyxxxfdyxfxxfyxf3.所以这种说法不对.从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.因为一元函数)(xfy在0x的可微性与可导性是等价的，所以有人说“微分就是导数，导数就是微分”，这说法对吗？1.填空题：(1)(已知函数2)(xxf在点x处的自变量的增量为0.2，对应的函数增量的线性全部是dy=0.8，那么自变量x的始值为__________.(2)微分的几何意义是__________.(3)若)(xfy是可微函数，则当0x时，dyy是关于x的________无穷小.(4)xdxdsin____________.(5)dxedx2____________.(6)xdxd3sec____________2.(7)xexy22,____________22dxdedyx.(8)_________)2(arctan2xeddxdex________.练习题2.52.求下列函数的微分：(1)12xxy；(2)2)]1[ln(xy；(3)21arcsinxy；(4)2211arctanxxy；(5)xeyx3cos3，求3xdy；3.求由方程22)cos(yxxy所确定的y微分.4.;(2)cos151;1.02;(4)lg11.6.oxd1.0130当很小时，证明：(1)ln(1+x)x;(2)tanxx;5.利用微分求近似值：（1）e（3)水管壁的正截面是一个圆环，设它的内径为R，壁厚为，利用微分计算这个圆环面积的近似值。7.半径为15cm的球，半径伸长2cm，球的半径约增大多少？1、(1)-2；(2)曲线的切线上点的纵坐标的相应增量；(3)高阶；(4)Cxcos1；(5)Cex221；(6)Cx3tan31；(7)xex22,；(8)xxxxeeee424222,222.2.(1)dxx232)1(；(2)dxxx1)1ln(2；练习题2.5答案(3)10,101,122xxdxxxdxdy；(4)dxxx412；(5)dx3；3.dxxy.4．略5．（1）2.745；（2）－0.8747；（3）1.0007；（4）1.0434306.2;7.565.5().Rdcm