第五节曲面及其方程

第三节空间的曲面和曲线我唯一知道的就是我不知道什么——苏格拉底水桶的表面、台灯的罩面等．曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．曲面的实例：一、曲面方程的概念Z,mn.Rsinm,,XYZ曲面方程的定义：如果曲面S与三元方程0),,(zyxF有下述关系：（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程；（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程；那么，方程0),,(zyxF就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程的图形．xyzOS0),,(zyxF以下给出几例常见的曲面.例1建立球心在点),,(0000zyxM、半径为R的球面方程.解设),,(zyxM是球面上任一点，RMM||0根据题意有Rzzyyxx2020202202020Rzzyyxx所求方程为特殊地：球心在原点时方程为2222Rzyx例2已知)3,2,1(A，)4,1,2(B，求线段AB的垂直平分面的方程.设),,(zyxM是所求平面上任一点，根据题意有|,|||MBMA222321zyx,412222zyx化简得所求方程.07262zyx解求与原点O及)4,3,2(0M的距离之比为2:1的点的全体所组成的曲面方程.解设),,(zyxM是曲面上任一点，,21||||0MMMO根据题意有,21432222222zyxzyx.911634132222zyx所求方程为0423222yxzyx：方程例表示怎样的曲面？5)2()1(222zyx解：配方的球面、半径为球心在点5)0,2,1(研究空间曲面有两个基本问题：（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．讨论旋转曲面（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．讨论柱面、二次曲面zxyo*例4方程的图形是怎样的？1)2()1(22yxz)1(1)2()1(22zzyx当平面cz上下移动时，得到一系列圆圆心在),2,1(c，半径为c1半径随c的增大而增大.图形上不封顶，下封底．c二、旋转曲面由一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫做旋转曲面的轴.xozy0),(zyf),,0(111zyMM),,(zyxM设1)1(zz（2）点M到z轴的距离||122yyxd旋转过程中的特征：如图将代入2211,yxyzz0),(11zyfd0,22zyxfyoz坐标面上的已知曲线0),(zyf绕z轴旋转一周的旋转曲面方程.同理：yoz坐标面上的已知曲线0),(zyf绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为.0,22zxyf平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量不变，而将曲线方程中的另一变量改写成该变量与第三个变量的平方和的正负平方根。0,22zyxfxoy面上的曲线C：0),(yxf绕X轴0,22zyxf绕Y轴0,22yzxfzox面上的曲线C：0),(zxf绕X轴0,22zyxf绕Y轴0,22zyxf例4直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角20叫圆锥面的半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为的圆锥面方程．xozy解yoz面上直线方程为cotyz),,0(111zyM),,(zyxM圆锥面方程cot22yxzoxzy例5将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．（1）双曲线12222czax分别绕x轴和z轴；绕x轴旋转122222czyax绕z轴旋转122222czayx（2）椭圆012222xczay绕y轴和z轴；绕y轴旋转绕z轴旋转122222czxay122222czayx旋转椭球面（3）抛物线022xpzy绕z轴；pzyx222旋转抛物面定义:三、柱面平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CLLC柱面举例xozyxozyxy22抛物柱面xy平面从柱面方程看柱面的特征只含yx,而缺z的方程0),(yxF，在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，其准线为xoy面上曲线C.（其他类推）C0),(yxF实例12222czby椭圆柱面母线//轴x12222byax双曲柱面母线//轴zpzx22过Y轴的平面y0zx抛物柱面母线//轴0zxxzyOxxzyyz33OOyxzOyzxOxyzO椭球面抛物面z=by+ax2222z=by-ax2222双曲面