第五节：空间曲线及其方程

第五节空间曲线及其方程•一、空间曲线的一般方程•二、空间曲线的参数方程•三、空间曲线在坐标面上的投影•四、小结练习题0),,(0),,(zyxGzyxF称为空间曲线的一般方程曲线上的点都同时满足两个方程，同时满足两个方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.xozy1S2SC空间曲线C可看作空间两曲面的交线.特点：一、空间曲线的一般方程例1方程组表示怎样的曲线？6332122zyxyx解122yx表示圆柱面，6332zyx表示平面，6332122zyxyx交线为椭圆.例2方程组表示怎样的曲线？4)2(222222ayaxyxaz解222yxaz上半球面,4)2(222ayax圆柱面,交线如图.)()()(tzztyytxx当给定1tt时，就得到曲线上的一个点),,(111zyx，空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程xyzoL),,(zyxM若动点M的坐标x,y,z均可表示为参数t的函数随着参数的变化可得到曲线上的全部点.动点从A点出发，经过t时间，运动到M点，设M(x,y,z)例3如果空间一点M在圆柱面222ayx上以MMM在xoy面的投影)0,,(yxMtaxcostaysinvtzt螺旋线的参数方程取时间t为参数，解xyzoA角速度绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升（其中、v都是常数），那么点M构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．螺旋线的参数方程变为bzayaxsincosvbt,令重要性质：,:00,:00bbbz上升的高度与转过的角度成正比．即上升的高度bh2螺距,2时当,costax,sintayvtz上升高度为：b解：,cosx)26(31yxz例2：将曲线6321:22yzxyxL表示为参数方程形式xyzo如图，曲线为一圆柱面与一平面的交线。M),,(zyxM)0,,(yx,siny)sincos26(31sin31cos322sincos:zyxL200),,(0),,(zyxGzyxFL消去变量z后得：）（10),(yxH曲线关于的投影柱面xoy设空间曲线的一般方程：以此空间曲线L为准线，母线垂直于所投影的坐标面.投影柱面的特征：三、空间曲线在坐标面上的投影方程（1）表示一个母线平行于z轴的柱面。且曲线L上的所有点都在该柱面上。投影柱面与xoy面的交线称为曲线L在xoy面上的投影曲线，简称投影。类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影00),(xzyR00),(yzxT面上的投影曲线,yoz面上的投影曲线,xoz00),(zyxH所以空间曲线L在xoy面上的投影曲线方程为0),,(0),,(zyxGzyxFL消去变量z后得：）（10),(yxH曲线关于的投影柱面xoy设空间曲线的一般方程：如图:投影曲线的研究过程.空间曲线投影曲线投影柱面（2）确定投影柱面与xoy面的交线00),(zyxH在xoy面上的投影曲线方程的一般步骤0),,(0),,(zyxGzyxFL（1）消去变量z后得xoy面上的投影柱面：）（10),(yxH求空间曲线：即为所求投影曲线的方程例4求曲线在坐标面上的投影.211222zzyx例4求曲线在坐标面上的投影.211222zzyx解（1）消去变量z后得,4322yx在面上的投影为xoy,04322zyxxyzo例4求曲线在坐标面上的投影.211222zzyx解xyzo（2）因为曲线在平面上，21z所以在yoz面上的投影为线段.,021xz23||y（3）同理在xoz面上的投影也为线段..23||,021xyz例5求抛物面xzy22与平面02zyx截线方程为0222zyxxzy解（1）消去z得xoy面上的投影,004522zxxyyx,0042522yxxzzx（2）消去y得xoz面上的投影的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.例5求抛物面xzy22与平面02zyx的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.截线方程为0222zyxxzy解（3）消去x得yoz面上的投影.00222xzyzy四、空间曲面或立体在坐标面上的投影.M),,(zyxM)0,,(yxSDxyzo称区域D为空间曲面S在xoy面上的投影。上述概念可推广到空间立体在坐标面上投影的情形.空间立体曲面四、空间曲面或立体在坐标面上的投影.例6解半球面和锥面的交线为,)(3,4:2222yxzyxzCxyzo面上的投影为在则交线xoyC.0,122zyx面上的投影为所求立体在xoy.122yx.,)(322面上的投影求它在锥面所围成xoyyxz和由上半球面设一个立体224,yxz空间曲线的一般方程、参数方程．四、小结空间曲线在坐标面上的投影．0),,(0),,(zyxGzyxF)()()(tzztyytxx00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxT习题75:5,7,8第七章作业第五节：空间曲线及其方程思考题求椭圆抛物面zxy222与抛物柱面zx22的交线关于xoy面的投影柱面和在xoy面上的投影曲线方程.思考题解答,22222zxzxy交线方程为消去z得投影柱面,122yx在面上的投影为xoy.0122zyx一、填空题：1、曲面zyx10922与yoz平面的交线是_____；2、通过曲线162222zyx,0222yzx，且母线平行于y轴的柱面方程是____________；3、曲线01,0332322zyzxyzzx在xoz平面上的投影方程是_______________；4、方程组3215xyxy在平面解析几何中表示______；5、方程组319422yyx在平面解析几何中表示_____________，在空间解析几何中表示_______________；练习题6、旋转抛物面22yxz(40z)在xoy面的投影为__________，在yoz面的投影为____________，在zox面上的投影为__________.二、画出下列曲线在第一卦限的图形：1、0422yxyxz2、222222azxayx三、将曲线xyzyx9222化为参数方程．四、求螺旋线bzayaxsincos在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.五、求由上半球面222yxaz,柱面022axyx及平面0z所围成的立体，在xoy面和xoz面上的投影.一、1、09102xzy；2、1623,1632222zxzy；3、0032422yxzx；4、两直线的交点,两平面的交线；5、椭圆与其一切线的交点,椭圆柱面19422yx与其切平面3y的交线；6、4,4,42222zxzyyx.练习题答案三、tztytxsin3cos23cos23,)20(t.四、0222zayx,0arcsinxaybz,0arccosyaxbz.五、0,0,;2222zxaaxzaxyx.