1.4.3正切函数图像及性质

正切函数的图象和性质问题:正切函数是否为周期函数？y=tanx∴是周期函数，是它的一个周期．y=tanx∵fx+π=tanx+π=tanxxf一、探究用正切线作正切函数图象我们先来作一个周期内的图象。22，x设f(x)=tanx作法:(1)等分：(2)作正切线(3)平移(4)连线把单位圆右半圆分成8等份。83488483，，，，，利用正切线画出函数，的图像:xytan22，x44288838320o22正切曲线0⑴定义域：}Zk,k2x|x{⑵值域：⑶周期性：⑷奇偶性：正切函数图像奇函数，图象关于原点对称。R（6）单调性：(5)对称中心二、性质:在每一个开区间，内都是增函数。)2,2(kkZkkπ(,0)2无对称轴23正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？问题：23在每一个开区间，内都是增函数。ππ(-+kπ,+kπ)22kZAB例1、比较下列每组数的大小。oo(1)tan167与tan173tanyx在，上是增函数，200tan167tan173tanyx又在0，是增函数22tantan45解:(1)(2)3πtan(-)4tan2π5＜三、例题分析∵90＜167＜173＜1803πtan(-)4=πtan43πtan(-+π)=43(2)tan()42与tan()5说明：比较两个正切值大小，关键是把相应的角化到y=tanx的同一单调区间内，再利用y=tanx的单调递增性解决。(1)tan138____tan143ºº)73((2)tan____tan)5(比较大小反馈演练tan()4yx求函数的定义域、值域和单调区间.以例2：及对称中心解:,42xk4xk,4xxRxkkZ因此，函数的定义域是且值域:Rtan,,2ytkkkZ的单调增区间是-2224kxk344kxk3,,44kkkZ函数的单调增区间是∵tant的对称中心（，0）∴x+=,x=,∴对称中心为（，0）2k42k∵tant的对称中心（，0）∴x+=,x=,∴对称中心为（，0）2k∵tant的对称中心（，0）∴x+=,x=,∴对称中心为（，0）2k42k42k求函数y=tan3x的定义域，值域，单调增区间，对称中心。｝定义域：｛zk,63kx\xR值域：zk,3k,3k）单调递增区间：（66变式训练对称中心：（，0）6k求函数的周期.tan(3)tan3,xx因为即tan3(x+)=tan3x,3tan3yx例３：反馈练习：求下列函数的周期：(1)5tan2xy(2)tan(4)yx解：24小结：y=tanωx的周期T=3这说明自变量x,至少要增加，函数的值才能重复取得，所以函数的周期是3tan3yxtan3x解不等式：解：0yx323,()32xkkkZ由图可知：例４：练习：观察正切曲线，写出满足下列条件的x的值的范围。（1）tanx0（2）tanx1（k，k+/2）kz（k–/2，k+/4）kzxy0–/2/2–/2xy01/2–/2/41．函数y＝tanxx≠kπ＋π2，k∈Z的单调性为()A．在整个定义域上为增函数B．在整个定义域上为减函数C．在每一个开区间－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上为增函数D．在每一个开区间－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上为增函数C课堂练习2：直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanx相交的相邻两点间的距离是（）A、B、/2C、2D、与a值有关0yxaB3．函数y＝5tan－x2的最小正周期是________．解析：T＝π－12＝2π.4．函数y＝3tan(π＋x)，－π4x≤π6的值域为________．解析：函数y＝3tan(π＋x)＝3tanx，因为正切函数在－π2，π2上是增函数，所以－3y≤3，所以值域为(－3，3]．答案：(－3，3]解：由12x－π6≠π2＋kπ，k∈Z，得x≠4π3＋2kπ，k∈Z，所以函数y＝tan12x－π6的定义域为xx≠4π3＋2kπ，k∈Z.T＝π12＝2π，所以函数y＝tan12x－π6的周期为2π.由－π2＋kπ12x－π6π2＋kπ，k∈Z，得－2π3＋2kπx4π3＋2kπ，k∈Z.所以函数y＝tan12x－π6的单调递增区间为－2π3＋2kπ，4π3＋2kπ(k∈Z)．5．求函数y＝tan12x－π6的定义域、周期及单调区间．五、小结：正切函数的图像和性质2、性质:xytan象向左、右扩展得到。再利用周期性把该段图的图象，移正切线得、正切曲线是先利用平)2,2(x,xtany1⑴定义域：}Zk,k2x|x{⑵值域：⑶周期性：⑷奇偶性：在每一个开区间，内都是增函数。ππ(-+kπ,+kπ)22kZ奇函数，图象关于原点对称。R(6)单调性：(5)对称性：对称中心：，0yx22无对称轴