例谈三角形面积的向量方法

高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！例谈三角形面积的向量方法向量是中学数学中的一个有力的工具,具有代数形式和几何形式的”双重身份”,向量在几何中以得到广泛应用．三角形是平面几何中最基本、最重要的图形，向量与三角形的交汇问题已成为近几年高考的热点问题．向量的模与数量积运算具有鲜明的几何背景，下面笔者用向量的模与数量积表示三角形的面积公式并例谈其应用．公式ABC中，若向量CBa，CAb，则2221()2ABCSabab．证明1sin,2ABCSabab2221(1cos,)2abab2221()2abab．１．利用公式求三角形的面积．例1．已知ABC，点(1,1)A，(4,2)B，(3,5)C，求ABC的面积．解：∵(3,1)AB，(2,4)AC，∴210AB，220AC，10ABAC，∴2221()2ABCSABACABAC1102010052．例2．已知ABC中，向量00(cos23,cos67)BA，00(2cos68,2cos22)BC，求ABC的面积．解：由已知，得00(cos23,sin23)BA，00(2sin22,2cos22)BC，∴1BA，2BC，∴00002(sin22cos23cos22sin23)BCBA02sin452．∴2221()2ABCSBCBABCBA22．２．利用公式和三角函数的性质求三角形面积最值．例3．平面直角坐标系内有点(sin,cos)Pxx，(cos,sin)Qxx，[,]2412x，O为坐标原点，求OPQ面积的最值．解：2221()2OPQSOPOQOPOQ211(2sincos)2xx211sin22x1cos22x．高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！∵[,]2412x，∴当12x时，OPQ面积的最小值为34；当0x时，OPQ面积的最大值为12．３．利用公式和均值不等式求三角形面积最值．例4.已知OAB中,OAa，OBb，且3,2abab，求OAB面积的最大值．解：∵3,2abab，∴2229aabb，2224aabb，解得54ab，22132ab，∴2221()2OABSabab22125216ab2221252216ab32，当且仅当132ab时，取“=”号．例5.已知向量(cos,sin)OAa，(cos,sin)OBb，a与b之间有关系式3kabakb，（0k，且23k），O为坐标原点，求AOB面积的最大值，并求此时a与b的夹角．解：将3kabakb两边平方，得22222223(2)kakabbakabkb∵1ab，∴22213(12)kkabkabk，又∵0k，∴111()42abkk，当且仅当1k时取“=”号．∴2221()2AOBSabab211()2ab1112434，∴AOB面积的最大值为34，此时12ab，∴1cos2abab，∵000180，∴060．新课程加强了平面向量的应用，教材中也设计了不少用向量方法研究平面图形性质的问题．以上，笔者用向量方法求解三角形面积问题，给人以耳目一新的感觉，体现了用向量方法解决问题的优越性．