求极限的常用方法

上页下页结束返回首页x一、时，型（方法：用最大项除分子分母）35(23)(2)lim(21)xxxx２例１3512(2)(1)=lim1(2)xxxx２1=8解：分子、分母除以x5原式22411lim.sinxxxxxx例2解：分子、分母除以-x，得原式2211141limsin1xxxxxx1=2上页下页结束返回首页二、利用无穷小的性质例3]lnsin)1ln([sinlimxxx2111lim2sin[ln(1)]cos[ln()]220.xxxx注：有界量×无穷小=无穷小解：原式nnnnn3!sinlim例4解：原式3limsin!nnnnn=0上页下页结束返回首页三、通过代数变形求极限2220lim11xxxx例5解：原式22220(11)lim2xxxxx1注：如果出现根式差，先通过有理化化简，再求极限．例6sin0limsinxxxeexxsinsin0(1)limsinxxxxeexxsin0(sin)lim1sinxxexxxx解：原式注：如果出现指数差，先提出一个因子，再寻求求极限的方法．上页下页结束返回首页四、利用两个重要极限求极限例72sin0lim(12)xxx解：原式142sin0lim[(12)]xxxxx4e注：两个重要极限0sin(1)lim1xxx1(2)lim(1)xxex30tansinlimsinxxxx例830sinsincoslimsinxxxxx原式20222sin2lim4sincos22xxxx1.2201coslimsincosxxxx上页下页结束返回首页五、利用无穷小量等价代换求极限22011limsin2xxx例9解：原式2201()2lim(2)xxx1830tansinlimsinxxxx例1030tan(1cos)limxxxx230112lim2xxxx2031lim1cosxxx例11解：原式202ln3lim2ln312xxx注：常用等价无穷小量sin~xxtan~xxln(1)~xx21cos~2xx1~lnxaxa11~nxxn上页下页结束返回首页六、利用罗比达法则求极限例1220tanlim.tanxxxxx30tanlimxxxx220sec1lim3xxx220tan1lim33xxx解：原式例1311lim().ln1xxxx注：型不定式极限可直接使用罗比达法则．00，解：原式11lnlim(1)lnxxxxxx11ln1lim1lnxxxxx1lnlimln1xxxxxx1ln11limln112xxx注：型不定式极限可通过通分变为之一．00，上页下页结束返回首页例140limlnxxx10lnlimxxx0解：原式120limxxx0lim()xx注(1)型不定式极限可通过把一项的倒数放到分母上变为之一．000，0(2)lim1.xxx10limxxxx(1)ln0limxxxxeln0lim(1)lnxxxexe02limlnxxxe例15解：原式ln(1)ln0limxxexxe20limlnxxxe102lnlimxxxe210lnlimxxxe01e六、利用罗比达法则求极限上页下页结束返回首页六、利用罗比达法则求极限1ln0lim(cot).xxx01limln(cot)lnxxx而2011cotsinlim1xxxx0lim-1cossinxxxx＝1.e故，原式x01limlncotlnxxe例16解：原式10lim()xxxxe例17解：原式1ln()0limxxexxe01limln()xxxexe01lim2xxxexeee上页下页结束返回首页六、利用罗比达法则求极限1230lim().3xxxxxeee例18解：原式23x01limln()3xxxeeexe而2301limln()3xxxxeeex230ln()ln3limxxxxeeex2323023lim2xxxxxxxeeeeee注：型不定式极限可直接使用罗比达法则．00，上页下页结束返回首页七、利用Taylor展开式求极限2240coslimxxxex242444401()(1())2!4!242!limxxxxxoxoxx44011()1lim[()].4!42!4xoxx例19解：原式