08第八章高斯投影

“测绘同仁”搜集第八章第八章第八章第八章高斯投影高斯投影高斯投影高斯投影地面-----椭球面-----平面熟悉,简单地图投影,高斯—克吕格投影（高斯投影）§8.1§8.1§8.1§8.1高斯投影概述高斯投影概述高斯投影概述高斯投影概述8.1.18.1.18.1.18.1.1投影与变形投影与变形投影与变形投影与变形所谓地球投影，简略说来就是将椭球面各元素（包括坐标、方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。研究这个问题的专门学科叫地图投影学。这里所说的数学法则可用下面两个方程式表示：),(),(21BLFyBLFx==(8-1)式中L，B是椭球面上某点的大地坐标，而yx,是该点投影后的平面(投影面)直角坐标。式(8-1)表示了椭球面上一点同投影面上对应点之间坐标的解析关系，也叫做坐标投影公式。投影问题也就是建立椭球面元素与投影面相对应元素之间的解析关系式。投影的方法很多，每种方法的本质特征都是由坐标投影公式F的具体形式体现的。椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面，若将这个曲面上的元素（比如一段距离、一个角度、一个图形）投影到平面上，就会和原来的距离、角度、图形呈现差异，这一差异称作投影的变形。地图投影必然产生变形。投影变形一般分为角度变形、长度变形和面积变形三种。在地图投影时，我们可根据需要使某种变形为零，也可使其减小到某一适当程度。因此，地图投影中产生了所谓的等角投影（投影前后角度相等，但长度和面积有变形）、等距投影（投影前后长度相等，但角度和面积有变形）、等积投影（投影前后面积相等，但角度和长度有变形）等。8.1.28.1.28.1.28.1.2控制测量对地图投影的要求控制测量对地图投影的要求控制测量对地图投影的要求控制测量对地图投影的要求1.应采用等角投影（又称正形投影）。这样①保证了在三角测量中大量的角度元素在投影前后保持不变，免除了大量的投影工作；②所测制的地图可以保证在有限的范围内使得地图上图形同椭球上原形保持相似，给国民经济建设中识图用图带来很大方便。如图多边形，相应角度相等，但长度有变化，投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为长度比。图中,EAAEABBAm′′==′′=LL“测绘同仁”搜集即在微小范围内保证了形状的相似性，当ABCDE无限接近时，可把该多边形看作一个点，因此在正形投影中，长度比m仅与点的位置有关，与方向无关，给地图测制及地图的使用等带来极大方便。2.要求长度和面积变形不大，并能用简单公式计算由变形而引起的改正数。为此地图投影应该限制在不大的投影范围内，从而控制变形并能进行简单计算。3.要求投影能很方便地按分带进行，并能按高精度的、简单的、同样的计算公式和用表把各带联成整体。保证每个带进行单独投影，并组成本身的直角坐标系统，然后再将这些带用简单的数学方法联接在一起，从而组成统一的系统。8.1.38.1.38.1.38.1.3高斯投影的基本概念高斯投影的基本概念高斯投影的基本概念高斯投影的基本概念高斯投影又称横轴椭圆柱等角投影，是德国测量学家高斯于1825～1830年首先提出的。实际上，直到1912年，由德国另一位测量学家克吕格推导出实用的坐标投影公式后，这种投影才得到推广，所以该投影又称高斯-克吕格投影。想象有一椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线（称中央子午线或轴子午线）相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定的投影方法将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面。我国规定按经差06和03度进行投影分带，为大比例尺测图和工程测量采用03带投影。特殊情况下工程测量控制网也可用05.1带或任意带。高斯投影06带自00子午线起每隔经差06自西向东分带，依次编号1,2,3,…。我国06中央子午线的经度，由069起每隔06而至0135，共计12带，带号用n表示，中央子午线的经度用0L表示，360-=nL。高斯投影03带是在06带的基础上分成的，它的中央子午线一部分同06带中央子午线重合，一部分同06带分界子午线重合，带号用n/表示，03带中央子午线用L表示，关系是：nL′=3。“测绘同仁”搜集在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且以中央子午线和赤道的交点O作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标轴，以赤道的投影为横坐标轴，这样便形成了高斯平面直角坐标系。在我国x坐标均为正，y坐标的最大值（在赤道上）约为330KM。为避免出现负的横坐标，可在横坐标上加500KM。此外还应在坐标前面冠以带号，这种坐标称为国家统一坐标。如某点Y=19123456.789m，该点位于19带内，其相对于中央子午线而言的横坐标是：首先去掉带号，再减去500KM，最后得y=-376543.211m。由于分带造成了边界子午线两侧的控制点和地形图处于不同的投影带内，为了把各带连成整体，一般规定各投影带要有一定的重叠度，其中每一06带向东加宽03′，向西加宽5.751′′或，这样在上述重叠范围内，控制点将有两套相邻带的坐标值，地形图将有两套公里格网，从而保证了边缘地区控制点间的互相应用，也保证了地图的拼接和使用。由此可见，由于高斯投影是正形投影，故保证了投影的角度不变性、图形的相似性以及在某点各方向上长度比的同一性；由于采用了同样法则的分带投影，既限制了长度变形，又保证了在不同投影带中采用相同的简单公式和数表进行由于变形引起的各项改正的计算，且带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行。高斯投影这些优点使用权它得到广泛的推广和具有国际性。8.1.48.1.48.1.48.1.4椭球面三角系化算到高斯平面椭球面三角系化算到高斯平面椭球面三角系化算到高斯平面椭球面三角系化算到高斯平面①高斯投影坐标计算yxlB,,⇔；②平面子午线收敛角r；③方向改化，距离改化；④换带计算。“测绘同仁”搜集高斯投影计算高斯投影计算高斯投影计算高斯投影计算本程序可供高斯投影正算、反算及任意带的换带计算。采用较精密的公式确保了计算精度，程序用VB语言编写具有图形用户界面特点，操作简单。Y坐标不加带号和加常数。1数学模型(1)子午线弧长公式)8sin()6sin()4sin()2sin(864200BaBaBaBaBaX++++=(2)正算公式00/cosρBlp=2/)12/)30/)56/)))543(3111(1385()30)119()58(61(())49(5((1(22222222222222pppptttttttNtXx-+-++-+-++++-++=ηηηppppttttttNy)6/)20/)42/)))179(479(61()14)5818(5(()1((1(222222222222-+-+++--+++-+=ηηη)3/)5/)21/))13(217())1(152(())23(1((1(sin222223222200pppttttBlr-++-+-++++=ηηη式中：Bttan=22)cos(Be′=η221η+=VVcN/=0000LLl-=(3)底点纬度公式00XqB=（单位：弧度）)))sin(sin(sin)(2sin(028602402200BqqBqBqBBBf++++=（单位：弧度）(4)反算公式fNyq/=2/)12/)30/)56/)))15754095(3633(1385()))45162(107()2(4561(())2(3))32(1(35(((222222222222222222000qqqqttttttttvtBBffffffffffffffff×++++--++++-+-+--+++-+=ηηηηηρ)6/)20/)42/)))7201320(662(61())43(2)67(45(()21((1(cos/22222222222200qqqtttttttBqlffffffffff+++-+++++++-+=ηηρ)3/)5/)21/)))45105(77(17())2()35(2(())21(1((1(222222222222200qqqtttttttqtrfffffffffff+++-++++++-+-+=ηηηρ式中：ffBttan=22)cos(ffBe′=η221ffVη+=ffVcN/=“测绘同仁”搜集(5)有关数据有关数据克氏椭球1975年椭球WGS-84椭球队a637824563781406378137c6399698.9017827116399596.65198801056399593.62582e′6.738525414683E-036.739501819473E-036.73949674227E-032e6.693421622966E-036.694384999588E-036.6943799013E-030a111134.8610828111133.0046793111132.95254942a-16036.48022-16038.52818-16038.508404a16.8280516.8326316.832606a-2.197E-02-2.198E-02-2.198E-028a3E-053E-053E-050q157046064.12328E-15157048687.47416E-15157048761.142065E-152q2525886946.8158E-122526252791.9786E-122526250855.8867E-124q-14919317.6572E-12-14923644.4356E-12-14923621.5362E-126q120717.4265E-12120769.9608E-12120769.6828E-128q-1075.1509E-12-1075.7700E-12-1075.7667E-120ρ=57.29577951308232“测绘同仁”搜集§§§§8.28.28.28.2正形投影的一般条件正形投影的一般条件正形投影的一般条件正形投影的一般条件研究高斯投影应首先满足正形投影的一般条件，然后加上高斯投影的特殊条件，即可导出高斯投影坐标正反算公式。推求时抓住正形投影区别于其它投影的特殊本质：在正形投影中，长度比与方向无关。⑴建立长度比关系在微分直角三角形P1P2P3和P1/P2/P3/中有：222222)cos()(dydxdsBdlNMdBdS+=+=(8-5)则长度比为++=++==22222222222cos)cos()cos()(dlBNMdBBNdydxBdlNMdBdydxdSdsm(8-6)⑵引进等量纬度BNMdBdqcos=(8-7)则∫=BBNMdBq0cos(8-8)因q只与B有关，故可把dq和dl看作互为独立的变量的微分。则(8-6)式可表示为：[]222222)()(dldqrdydxm++=(8-9)地图投影就是建立x,y与L,B的函数关系，因B与q有确定的关系，因此投影问题也可“测绘同仁”搜集以说是建立x,y与q,l的函数关系。设函数关系式为：),(),(qlyyqlxx==(8-10)全微分dllxdqqxdx∂∂+∂∂=dllydqqydy∂∂+∂∂=(8-11)代入(8-5)2式得：22222∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=+=dllydqqydllxdqqxdydxds()()2222222dllylxdldqlyqylxqxdqqyqx∂∂+∂∂+⋅∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂+