2014年全国卷2理科数学试题及答案

12014年普通高等学校招生全国统一考试理科（新课标卷二Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=｛0,1,2｝，N=2|320xxx≤，则MN=()A.｛1｝B.｛2｝C.｛0，1｝D.｛1，2｝【答案】D【解析】把M=｛0,1,2}中的数,代入不等式,023-2≤+xx经检验x=1,2满足。所以选D.2.设复数1z，2z在复平面内的对应点关于虚轴对称，12zi，则12zz（）A.-5B.5C.-4+iD.-4-i【答案】B【解析】.,5-4-1-∴,2-,2212211Bzzizzziz故选关于虚轴对称，与==+=∴+=3.设向量a,b满足|a+b|=10，|a-b|=6，则ab=()A.1B.2C.3D.5【答案】A【解析】.,1,62-102∴,6|-|,10||2222Abababababababa故选联立方程解得，，==+=++==+4.钝角三角形ABC的面积是12，AB=1，BC=2，则AC=()A.5B.5C.2D.1【答案】B【解】2..5,cos2-43π∴ΔABC4π.43π,4π∴,22sin∴21sin1221sin21222ΔABCBbBaccabBBBBBBacS故选解得，使用余弦定理，符合题意，舍去。为等腰直角三角形，不时，经计算当或=+======•••==5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45【答案】A【解析】.,8.0,75.06.0,Appp故选解得则据题有优良的概率为则随后一个空气质量也设某天空气质量优良，=•=6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A.1727B.59C.1027D.13【答案】C【解析】..2710π54π34-π54π.342π944.2342π.546π96321Cvv故选积之比削掉部分的体积与原体体积，高为径为，右半部为大圆柱，半，高为小圆柱，半径加工后的零件，左半部体积，，高加工前的零件半径为==∴=•+•=∴=•=∴π7.执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S=（）A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】3.372252131,2,2CKSMtx故选变量变化情况如下：==8.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】..3.2)0(,0)0(.11-)(),1ln(-)(Daffxaxfxaxxf故选联立解得且==′=∴+=′∴+=9.设x,y满足约束条件70310350xyxyxy≤≤≥，则2zxy的最大值为（）A.10B.8C.3D.2【答案】B【解析】..8,)2,5(07-013--2Bzyxyxyxz故选取得最大值处的交点与在两条直线可知目标函数三角形，经比较斜率，画出区域，可知区域为==+=+=10.设F为抛物线C:23yx的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A.334B.938C.6332D.94【答案】D【解析】4..49)(4321.6),3-2(23),32(233-4322,343222,2ΔOABDnmSnmnmnnmmnBFmAFBA故选，解得直角三角形知识可得，，则由抛物线的定义和，分别在第一和第四象限、设点=+••=∴=+∴=+=•=+•===11.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（）A.110B.25C.3010D.22【答案】C【解析】..10305641-0||||θcos2-1-,0(2-1,1-(∴).0,1,0(),0,1,1(),2,0,2(),2,2,0(,2,,111111CANBMANBMANBMNMBACCBCACZYXCCACBC故选）。，），，则轴，建立坐标系。令为，，如图，分别以=+=••======12.设函数3sinxfxm.若存在fx的极值点0x满足22200xfxm，则m的取值范围是（）A.,66,B.,44,C.,22,D.,14,【答案】C【解析】5.2.||,34∴34)]([,2||||,3)]([3πsin3)(2222020020Cmmmmxfxmxxfmxxf故选解得，，即的极值为++≥+∴≤=±=第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.二.填空题13.10xa的展开式中，7x的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)【答案】21【解析】.21.21,15a∴15xax3310737310====aaCC故14.函数sin22sincosfxxx的最大值为_________.【答案】1【解析】.1∴.1≤sinφsin)φcos(-φcos)φsin()φcos(φsin2-φsin)φcos(φcos)φsin()φcos(φsin2-)φ2sin()(最大值为xxxxxxxxxf=•+•+=+•++•+=++=15.已知偶函数fx在0,单调递减，20f.若10fx，则x的取值范围是__________.【答案】），（），∞3∪1-∞-(+【解析】.∞3∪1-∞-(∈2|1-|.31--(2|1-|0)1-(∴.2||0)(∴0)2(),0[)(），（），，解得故解集为），（），，解得的解集为的解集为上单增，且在偶函数++∞∪∞∈=+∞=xxxxxfxxffxfy616.设点M（0x,1），若在圆O:221xy上存在点N，使得∠OMN=45°，则0x的取值范围是________.【答案】]1,1-[【解析】].1,1-[∈x].1,1-[x.,1)M(x1,yO000故形外角知识，可得由圆的切线相等及三角在直线上其中和直线在坐标系中画出圆∈=三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知数列na满足1a=1，131nnaa.（Ⅰ）证明12na是等比数列，并求na的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112naaa…+.【答案】(1)无（2）无【解析】（1）的等比数列。公比为是首项为3,2321}21{∴).21(3211321a∴.*N∈.n13,111n11=+++=++=++==++aaaaaaannnnn(2)（证毕），所以，）（时，当，知，由.*∈231111.2331-12331-131-131313111111∴.311-3211,11.1-32121-3∴,2321)1(3211-213211-1Nnaaaaaaaaanaaaannnnnnnnnnnnnn++++==++++++++=====+18.（本小题满分12分）7如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD的体积.【答案】(1)无（2）无【解析】（1）设AC的中点为G,连接EG。在三角形PBD中，中位线EG//PB,且EG在平面AEC上，所以PB//平面AEC.（2）设CD=m,分别以AD,AB,AP为X,Y,Z轴建立坐标系，则。的体积为所以，三棱锥的高即为三棱锥面且的中点，则为设解得解得一个则法向量为同理设平面解得一个则法向量为设平面83-.8321323213131∴.-,⊥,212,//.23,21333|||||||,cos|3πcos).3-,3-,(,0,0),,,().0,1,0(,0,0),,,().0,,3(),21,0,23(),0,0,3(∴).0,,3(),21,0,23(),0,0,3(),0,0,0(Δ-2222222222222221111111ACDEEFSVACDEACDEFEFPAEFPAADFmmmnnnnnnmmnAEnACnzyxnACEnAEnADnzyxnADEmACAEADmCEDAACDACDE=••••=••=====++=••=============819.（本小题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：121niiiniittyybtt，ˆˆaybt【答案】(1).3.25.0+=ty（2）约6800元【解析】（1）.3.25.03.24*21-3.4-,212*14142*)149(8.48.15.007.0214*3,3.479.52.58.44.46.33.39.2,47721+======++++++++=+==++++++==+++=tytytbyababtyyt的回归方程为关于所以，代入公式，经计算得设回归方程为百元左右。千年，该区人均纯收入约所以，预计到千元）该区人均纯收入年，增长，预计到年该区人均纯收入稳步年至862015(8.63.295.0201520132007∴,021=+•==yb20.（本小题满分12分）设1F,2F分别是椭圆222210yxabab的左右焦点，M是C上一点且2MF与x轴垂直，直线91MF与C的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN的斜率为34，求C的离心率；（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且15MNFN，求a,b.【答案】(1)21（2）72,7==ba【解析】（1）.21∴.2102-32.,4321∴4322222211的离心率为解得，联立整理得：且由题知，CeeecbacabFFMF==++==•=（2）72,7.72,7.,,1:4:)23-(,:.23-,,.4,.42222211111122====+===+=+====•=babacbaaceNFMFceaNFecaMFccNMmMFmNFabMF所以，联立解得，且由焦半径公式可得两点横坐标分别为可得由两直角三角形相似，由题可知设，即知，由三角形中位线知识可21.（本小题满分12分）已知函数fx=2xxeex（Ⅰ）讨论fx的单调性；（Ⅱ）设24gxfxbfx，当0x时，0gx,求b的最大值；（Ⅲ）已知1.414221.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）10【答案】(1)上单增在Rxf)(（2）2【解析】（1）.)(.02-12≥2-12-)(∴∈2--)(--上单增在所以，，RxfeeeeeexfRxxeexfxxxxxxxx=•+=+=′=（2）2≥22≥0-0≥)-(-))((0≥)-(2-2-2.0≥)(0,tt),(0,∈∃x∴)-(2-2-2)(.0)0(,0mm),(0,∈x)2-(2-2-)(.0≥)2-(2-2-0≥)2-(4-4-22.0≥)(0,mm),(0,∈∃x∴)2-(4-4-22)(