北京大学数学物理方法经典课件第九章——二阶常微分方程

9.1特殊函数的常微分方程园球形和园柱形是两种常见的边界，本章考察拉普拉斯方程在球坐标系和坐标系中分离变量法所导致的常微分方程以及相应的本征值问题。（一）直角坐标系内的拉普拉斯方程222222()0uuxyz正交曲线座标系中的拉普拉斯方程球域内Laplace方程的边值问题222222222222220,(,,)xyzauuuxyzaxyzufxyzcoscoscossinsinxryrzr坐标变换0020ra222222200,111sin0,sinsin(,)(,,)(,,2),raruuurrrrrrufuururu有限值,有限值,隐含着的周期边值条件和球内约束条件直角坐标：222222xyz柱坐标：22211()()zz2222222111()(sin)sinsinrrrrrr球坐标：（1）球坐标系拉普拉斯方程的分离变量22222221110()(sin)sinsinuuurrrrrr令(,,)()(,)urRrY拉普拉斯算子：422222220()(sin)sinsinYRRYRYrrrrrr22221111()(sin)()sinsinRYYrllRrrYY2221110(sin)()sinsinYYllY欧拉形式方程222210()dRdRrrllRdrdr球函数方程52rRYtrln常数1dRdRdtdR==,drdtdrrdt1,22222dRdRdR=drrdtdt对欧拉形式方程作变量代换1()llDRrCrr22(1)0dRdRllRdtdtddllRdtdt10因式分解解为：式中：C和D为积分常数.球函数方程，令()()Y22210(sin)()sinsindddllddd22211dddlldddsin(sin)()sin220dd210sin(sin)[()sin]ddlldd自然的周期边界条件：2()()2012,,,mm()cossinmmAmBml-阶缔合勒让德方程cosx221sinsinsin()xxxxx222211110()[()][()()]ddxxllxmdxdx72221101[()][()]ddmxlldxdxxl-阶勒让德方程u是轴对称的，对φ的转动不改变u。0m2221210()()ddxxlldxdx8220,sinsin(1)sin0ddllmdd有限值2221(1)2(1)01xmxyxyllyxy有限值()()()0,1,2,0,1,2,mlΘθ=ycosθ=Pcosθl=Lm=L,l令(,,)()()()uzRZz22222220dRZdRRZddZZRddddz222110()()uuuzz220dd222222dRdRdZRRdZddz（2）柱坐标系拉普拉斯方程的分离变量2RZ()cossinmmAmBm20,1,2,mm9222211dRdRmZRdRdZ0''ZZ2222dR1dRm++(μ-)R=0dρρdρρ1.0ZCDz0123ln,,,mmEFmRFEm2.00zzZCeDex2222110()dRdRmRxdxdxx3.xvcos()sin()ZCvzDvz2v22221(1)0dRdRmRxdxdxx贝塞耳方程虚宗量贝塞耳方程侧面的齐次边界条件的可能数值上下低面的齐次边界条件v的可能数值10（二）波动方程的分离变量20ttuau令(,)()()urtTtvr2''0TvaTv2''0TvvaT22''TvkvaT22''0TakT20vkv振动方程亥姆霍兹方程（三）输运方程的分离变量20tuau令(,)()()urtTtvr2'0TvaTv2'0TvvaT22'0TakT20vkv亥姆霍兹方程增长或衰变的方程11（四）亥姆霍兹方程1.球坐标22222222111()(sin)0sinsinvvvrkvrrrrr(,,)()(,)vrRrY22222222()(sin)0sinsinYRRYRYrkRYrrrrr22211(sin)(1)0sinsinYYllY222()[(1)]0ddRrkrllRdrdrl阶球贝塞耳方程xkr22()[(1)]0ddRxxllRdxdx球函数方程121/21/23/221/21'''[(1)]04xyxyxyxllxy1/2()()Rrxyx3/21/21''2Rxyxy21/23/21/21/23/211[']'[']''''24xRxyxyxyxyxy2221'''[()]02xyxyxly阶贝塞耳方程12l22()[(1)]0ddRxxllRdxdx1320,1,2,mm()cossinmmAmBmx22221()0dRdRmRdd22221(1)0dRdRmRxdxdxxm阶贝塞耳方程2.柱坐标222211()()0vvvkvzz(,,)()()()vzRZz220dd20ZZ''2222210()dRdRkRdd齐次边界条件，本征值问题22200k14分离变数结果拉普拉斯方程方程球坐标系柱坐标系()xcos()sinmm11()/llrRrrl-阶连带勒让德方程cos()sinmm()zzeZze0()Rm-阶贝赛尔方程cos()sinzZzz20()Rm-阶虚宗量贝赛尔方程01()Zzz01()lnR()mmmR0m0u1516三类数学物理方程Helmholtz方程连带Legendre方程、Bessel方程分离时间空间变量分离空间坐标变量17m阶Bessel方程222'''0xyxyxmyl阶连带Legendre方程2222212101dydymxxllydxdxx0m,Legendre方程2221210dydyxxllydxdx9.2常点邻域的级数解法线性常微分方程在指定初始条件下的级数解法。''()'()0ypxyqxy0001(),'()yxCyxC对于复变函数：22()()0dwdwpzqzwdzdz0001()'()wzCwzC（一）定义方程的常点：和在其邻域解析。否则为奇点。0z()pz()qz（二）常点邻域的级数解定理：方程的常点的邻域中和解析，则在这个圆中存在唯一的解析解满足初始条件0z()pz()qz0zzR()wz0001(),'()wzCwzC由于解的唯一性，可将此解写为泰勒级数：00()()kkkwzazz解析函数理论191.这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的解法解出，但可用幂级数解法解出．2.所谓幂级数解法，就是在某个任意点Z0的邻域上，把待求的解表为系数待定的幂级数，代入方程以逐个确定系数．3.幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广，可借助于解析函数的理论进行讨论．4.求得的解既然是级数，就有是否收敛以及收敛范围的问题.5.尽管幂级数解法较为繁琐，但它可广泛应用于微分方程的求解问题中．几点说明（三）勒让德方程的级数解法2(1)''2'(1)0xyxylly222(1)'''011xllyyyxx化为标准形式：22()1xpxx2(1)()1llqxx1x是方程的奇点在点的邻域：00x0()0px0()(1)qxll0()kkkyxax11'()kkkyxkax22''()(1)kkkyxkkax1.级数解代入方程221210(1)(1)2(1)0kkkkkkkkkxkkaxxkaxllax或22210(1)(1)2(1)0kkkkkkkkkkkkkkaxkkaxkaxllax021132212126121210kkkkkkllaallaaaxllakakkakkax[()][()][()()()()]2002113221212611210[()][()]{[()()]()()]}kkkkllaallaaaxllkkakkax02120()llaa1131260()llaaa211210[()()]()()]kkllkkakka21112121()()()()()()()()kkkkkllklklaaakkkk递推公式20(1)2llaa31(1)(2)6llaa系数的两个序列21211212312221!kklkllllkaak22这样l阶Legendre方程的解是：00112031;11,2!12.3!yxayxayxllyxxllyxxx21lim11kkkRklkl所以l阶Legendre的级数解在单位圆内收敛，在单位圆外发散。可以证明Legendre方程的级数解在1x处发散。（Gauss判别法）幂级数解的收敛半径2.x=1解的收敛性可以证明，当解是无穷级数时，不可能在两点同时收敛。0()kkkyxax如果解是多项式，即只有有限项，这样的解可以在这两点同时收敛2(1)(1)(2)(1)kkkkllaakk由系数的递推关系可知：当l是偶数，则偶次项的系数在k=l以后为零。当l是奇数，则奇次项的系数在k=l以后为零。3.自然边界条件“解在x=1保持有限”是自然边界条件，勒让德方程变成本征值问题，本征函数为勒让德多项式，l(l+1)是本征值。239.3正则奇点邻域上的级数解法和22()()0dwdwpzqzwdzdz110()()skkkwzazz（一）奇点邻域上的级数解定理：如果z0是方程的奇点，则在p(z)和q(z)都解析的环状区域0z-z0R内，方程的两个线性无关解是220()()skkkwzbzz