第三章 统计量数 (差异量数).

第三章统计量数差异量数离散性时反映一组数据的分散程度，即次数分布的离散程度。对其数量化描述称为次数分布变异特性的度量或差异量数。差异量数是代表一组数据离散程度的量。它能反映频数分布中大量数据与均值的变异程度。图2-2：A&B差异量数亦称为离中量数，表示数据分散程度的统计量，反映的是各变量值远离其中心值的程度。表示数据离中趋势的量数：全距平均差方差标准差差异系数集中量数集中趋势是描述次数分布的典型情况。差异量数离中趋势是描述次数分布的特殊情况。全距R，两极差，说明数据离散程度的最简单的统计量。R=Xmax—Xmin最简单的差异量数，最粗糙和最不可靠的值。仅仅利用了数据中的极端值，其他数据都未参与运算过程发挥作用。平均差（Averagedeviation）Meanabsolutedeviation各变量值与均值之差的绝对值的平均数。NxNXXADi例2-7:5名被试的错觉实验数据，求其平均差。被试12345错觉量1618202217方差和标准差11222222nXXSnXXSNXNXiiii样本方差和样本标准差总体方差和总体标准差例2-8，有11名被试的听反应时如下，试求其标准差。被试1234567891011反应时174.1118.3186.3203.0163.0144.5168.0154.5205.5179.5195.6利用均值来计算方差与标准差，直观容易理解，但均值是一个导出分数值，当小数位有限制时，方差与标准差容易受到均值的影响而使得精度受损。直接利用原始分数来计算方差与标准，其精确度更高，可以消除计算误差。2222222222222222222NXNXNXNXNXNXNXNXNXNXNXNXNXXNXXNXiiiiiiiiiiiiiiiii方差和标准差的变式1111(2.15)P452222222222NNXNXSNNXNXSNXNXNXNXiiiiiiii－－样本方差和样本标准差－－总体方差和总体标准差差按原数据求方差和标准练习：计算6、5、7、4、6、8这一组数据的方差和标准差10名健康人脉搏（次/分）为：68、79、75、74、80、79、71、75、73、84NfxNXXfsc22)(组别组中值次数58~6159.5254~5755.5150~5351.5646~4947.5542~4543.5738~4139.51234~3735.52030~3331.51426~2927.51422~2523.5918~2119.5714~1715.53样本方差与总体方差的区别在计算上，总体方差是用数据个数或总次数去除离差平方和，而样本方差则用样本数据个数或总次数减1去除离差平方和样本方差是统计量，用S2表示；总体方差是总体参数，用2表示当n很大时，S2与2相差很小，前者是后者的无偏估计。标准差的合成方差具有可加性，在已知几个组方差或标准差的情况下，可以计算它们的总方差或总标准差。合成后的平均数—合成后的标准差—wwkkikiwiiiiwXnnnXXnn...)()(211122例2-9：某能力研究，共抽取三个样本组，测得该能力得分如下，求其总标准差和总方差。样本NS12342365010311098161217X标准差的性质一组数据的每一个数据都加常数C后标准差不变；一组数据的每一个数据都乘常数C后标准差变为原来的C倍；一组数据的每一个数据都乘常数，再加上常数D，所得标准差为原来的C倍。方差和标准差是表示一组数据离散程度的最好指标。其值越大，说明次数分布的离散程度越大；反之，其值越小，说明次数分布的离散程度越小。方差与标准差具有反应灵敏、计算严密、受抽样变动的影响较小等条件。方差与标准差的优点方差与标准差具有以下优点：（1）反应灵敏。（2）由计算公式严格确定；（3）容易计算；（4）适合代数运算；（5）受抽样变动的影响小，既不同样本的标准差或方差比较稳定；（6）简单明了；（7）具有可加性。可以把总变异分解为不同来源的变异。（8）各变量值对均值的方差小于对任意数的方差。差异系数CV标准差反映了一个次数分布的离散程度，当对同一个特质使用同一种测量工具进行测量，所测样本水平比较接近时，简单比较标准差的大小即可知道样本间离散程度那一个大。对同一特质、同一测量工具，当样本间的均值相同（差异不大）时，比较标准差即可判断数据的离散程度。当不同特质、不同测量工具？两个或两个以上样本所测的特质不同两个或两个以上样本所测的特质相同，但样本间水平相差太大。差异系数(CoefficientofVariation)变异系数指出了标准差对于平均值的大小，用于比较不同总体或样本数据的离散程度。同一样本不同测量的变异的比较，如相同班级不同科目的变异的比较；不同样本同一测量的变异的比较，如不同年级同一科目变异大小的比较。%100%100XSCVCV或例：已知某小学一年级学生的平均体重为25公斤，体重的标准差是3.7公斤，平均身高110厘米，标准差为6.2厘米，问体重与身高的离散程度哪个大?解：CV体重=3.7/25×100%=14.8%CV身高=6.2/110×100%=5.64%，所以，体重的离散程度比身高的离散程度大。例：通过同一个测验，一年级学生的平均分数为60分，标准差为4.02分，五年级学生的平均分数为80分，标准差为6.04分，问这两个年级的测验分数中哪一个离散程度大？解：CV一年级=4.02/60×100%=6.7%，CV五年级=6.04/80×100%=7.55%，所以，五年级的测验分数的分散程度大。思考题以下每组数的平均数均为50，哪组数在平均数附近的散布程度最大？哪组最小？A①0，20，40，50，60，80，100②0，48，49，50，51，52，100③0，1，2，50，98，99，100B①47，49，50，51，53②46，48，50，52，54③46，49，50，51，54地位量数对事物不同属性采用不同的测量进行测量，因而其原始变量之间不具等值性，从而无法进行比较和评价。将用不同研究工具或测量工具得到的不等值的原始变量放在它们各自所在的次数分布中，研究并比较它们在各自所处次数分布中的相对地位，从而得到正确的解释和评价。表明研究对象某一属性的数量化指标—原始变量在其所处分布中地位的量数，称为地位量数。相对地位量数地位量数是最常用的一种量数，常被用来表示各种常模。百分位分数百分等级分数标准分数T分数百分位分数pm，相对地位量数百分位分数是次数分布中相对于某个特定百分点(m)的原始分数，表明在次数分布中特定个案百分比低于该分数。如，p30等于60，表示在该次数分布中有30%的个案低于60分。p50等于80，表示在该次数分布中有50%的个案低于80分。Pm—第m个百分位分数；L—Pm所在组的组下限；U—Pm所在组的组上限；f—Pm所在组的组数；Fb—小于L的累积次数；Fa—大于U的累积次数。ifFmNUPifFNmLPambm)1001(100百分等级分数PR，相对地位量数事先知道分布中的一个原始分数，再求这个原始分数在分布中所处的相对位置—百分等级。百分等级分数，在次数分布中低于这个原始分数的次数百分比。百分等级分数指出原始数据在常模团体中的相对位置，百分等级越小，原始数据在常模团体中的相对位置越低；百分等级越大，原始数据在常模团体中的位置越高。Fb—小于L的累积次数；f—某特定原始变量所在组的次数；L—某特定原始变量所在组的下限；i—组距；N—次数分布的总次数。100NifLxFPRb例2-12：表2-1所列的考试分数分布中，已知某应试者的考分为82分，问在这次考试中低于该应试者的人数比例？百分位量数百分位分数百分等级分数计算简单、意义明确、对各种测验普遍适用顺序量表、不具相等单位，不能作进一步的数学运算，进一步的统计分析。Z分数标准分数，基分数，Z分数以均值为参照点，以标准差为单位表示一个原始分数在团体中所处位置的相对位置量数。离均值有多远，即表示原始分数在均值以上或以下几个标准差的位置，从而明确该分数在团体中的相对地位的量数。为标准差为一组数据的均值代表原始分数SXXSxSXXZ例子：某班平均成绩为90分，标准差为3分，A学生得94分，B学生得90分，求AB两学生的Z分数各是多少？Z分数的性质Z分数无实际单位，是以均值为参照点，以标准差为单位的一个相对量；一组原始分数转换得到的Z分数可以是正值，也可以是负值。故原始分数的Z分数之和为0，Z分数的均值为0；一组原始数据中，各个Z分数的标准差为1；若原始分数呈正态分布，则转换得到的所有Z分数的均值为0，标准差为1的标准正态分布。用于比较几个分属性质不同的观测值在各自数据分布中相对位置的高低。例子：某年高考理科数学全国平均成绩为65分，标准差是12.5分，考生A、B、C三人的数学原始成绩是50、65、85分，求各自的标准分数？计算不同质的观测值的总和或平均值，以表示在团体中的相对位置。例子：A、B两个学生在三种考试中的分数见下表，试比较两个人的分数是否有差别？考试均值标准差A学生B学生123705542845705745905140在某年的高等学校入学考试中两名考生A、B的成绩分数，请问根据考试成绩应该优先录取哪种考生？考试科目原始成绩全体考生AB均值标准差语文政治外语数学理化857068537289627240877065695075105868总和348350考试科目原始成绩全体考生Z分数AB均值标准差A考生B考生语文政治外语数学理化8570685372896272408770656950751058681.51-0.1250.5-0.3751.9-0.60.375-1.671.5总和3483502.51.505T分数为了克服标准分数出现的小数、负数和不易为人们所接受等缺点，常常将其转换成正态标准分数。为测验常模的标准差，指转换之前的标准分数为常数态分数为经过转换后的标准正,,''XXZbaZbaZZ