2016_2017学年高中数学第一章解三角形1.2应用举例第1课时正余弦定理在实际应用中的应用课件

1．2应用举例第1课时正、余弦定理在实际应用中的应用自主学习新知突破1．熟练掌握正、余弦定理．2．能够运用正、余弦定理等知识和方法求解距离、高度和角度等问题．如图所示，为了在一条河上建一座桥，施工前先要在河两岸打上两个桥位桩A，B，若要测算A，B两点之间的距离，需要测量人员在岸边定出基线BC，现测得BC＝50米，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°，则A，B两点的距离为________米．[提示]在△ABC中，BC＝50米，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠BCA＝180°－105°－45°＝30°.由正弦定理得ABsin∠BCA＝BCsin∠BAC，∴AB＝BC×sin∠BCAsin∠BAC＝50×sin45°sin30°＝50×2212＝502(米)．(1)基线：在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做_____．测量中的基本术语(2)仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫_____，目标视线在水平视线下方时叫_____，如图1.基线仰角俯角(3)方位角和方向角从_____方向_______转到目标方向线所成的角叫_______.如图2，目标A的方位角为135°.从_____方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角叫________，如图3，北偏东30°，南偏东45°.正北顺时针方位角指定方向角(4)视角观察物体的两端视线张开的_____．如图4.角度(5)坡角与坡度坡面与水平面所成的二面角叫_____，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫_____i＝hl.如图5.坡角坡度测量中的有关概念、名词、术语的应用(1)在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，目的是使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．(2)准确了解测量中的有关概念、名词、术语，方能理解实际问题的题意，根据题意作出示意图．(3)方位角α的范围是0°α360°，方向角β的范围是0°β90°.1．学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4m，A＝30°，则其跨度AB的长为()A．12mB．8mC．33mD．43m解析：由正弦定理得ABsinC＝ACsinB，由题意得C＝120°，B＝30°，∴AB＝AC·sinCsinB＝4×sin120°sin30°＝43(m)．答案：D2．在静水中划船的速度是每分钟40m，水流的速度是每分钟20m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为()A．15°B．30°C．45°D．60°解析：如图，∵sin∠CAB＝2040＝12，∴∠CAB＝30°，故选B.答案：B3．张帅在操场上某点B处测得学校的科技大楼AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30m至点C处测得顶端A的仰角为2θ.继续前进103m至D点，测得顶端A的仰角为4θ，则θ等于________．解析：画出示意图，在△ABE中，AC＝BC＝30m，CD＝AD＝103m，∴cos∠ACD＝cos2θ＝CD2＋AC2－AD22CD·AC＝1032＋302－10322×103×30＝32⇒θ＝15°.答案：15°4．甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？在追赶过程中乙船行驶了多少海里？解析：设甲沿直线与乙船同时到C点，则A，B，C构成一个△ABC，如图，设乙船速度为v，则甲船速度为3v，到达C处用时为t.由题意BC＝vt，AC＝3vt，∠ABC＝120°.在△ABC中，由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°，∴3v2t2＝a2＋v2t2＋avt.∴2v2t2－avt－a2＝0，解得vt＝－a2(舍)或vt＝a.∴BC＝a，在△ABC中AB＝BC＝a，∴∠BAC＝∠ACB＝30°.答：甲船应取北偏东30°的方向去追乙船，在此过程中乙船行驶了a海里．合作探究课堂互动测量距离问题在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为3a2的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．[思路点拨]方法一：△ADC→得AD△BDC→得BD→解△ABD→得AB方法二：△ADC→得AC△BDC→得BC→解△ABC→得AB[边听边记]方法一：∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，又∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AD＝CD＝AC＝32a.在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，∵DBsin∠BCD＝CDsin∠DBC，∴BD＝CD·sin∠BCDsin∠DBC＝32a·6＋2422＝3＋34a.在△ADB中，∵AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB＝34a2＋3＋34a2－2×32a·3＋34a·32＝38a2，∴AB＝64a，∴蓝方这两支精锐部队的距离为64a.方法二：同方法一，得AD＝DC＝AC＝32a.在△BCD中，∠DBC＝45°，∴BCsin30°＝CDsin45°，∴BC＝64a，在△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos45°＝34a2＋38a2－2×32a·64a·22＝38a2，∴AB＝64a，∴蓝方这两支精锐部队的距离为64a.求距离问题的注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形．若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．1．如图，货轮在海上以50海里/时的速度沿方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为155°的方向航行．为了确定船的位置，在B点处观测到灯塔A的方位角为125°.半小时后，货轮到达C处，观测到灯塔A的方位角为80°.求此时货轮与灯塔之间的距离．(得数保留最简根号)解析：∠ABC＝155°－125°＝30°，∠ACB＝80°＋(180°－155°)＝105°.∴∠A＝180°－30°－105°＝45°，在△ABC中，由正弦定理可得|BC|sinA＝|AC|sin∠ABC，∴50×306022＝|AC|12，解得|AC|＝2522.∴此时货轮与灯塔之间的距离为2522海里．测量高度问题如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.[思路点拨]求∠CBD―→利用正弦定理求BC―→在△ABC中求AB解析：在△BCD中，∠BCD＝α，∠BDC＝β，∴∠CBD＝180°－(α＋β)，∴BCsinβ＝ssin[180°－α＋β]，即BCsinβ＝ssinα＋β.∴BC＝sinβsinα＋β·s.在△ABC中，由于∠ABC＝90°，∴ABBC＝tanθ，∴AB＝BC·tanθ＝sinβ·tanθsinα＋β·s.测量高度时需在与地面垂直的竖直平面内构造三角形，依条件结合正弦定理和余弦定理来解．解决测量高度的问题时，常出现仰角与俯角的问题，要清楚它们的区别及联系．测量底部不能到达的建筑物的高度问题，一般要转化为直角三角形模型，但在某些情况下，仍需根据正、余弦定理解决．2．如图所示，在地面上有一旗杆OP，为测得它的高度h，在地面上取一线段AB，AB＝20m，在A处测得P点的仰角∠OAP＝30°，在B处测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝30°，求旗杆的高度．解析：设旗杆高度为xm.由∠OAP＝30°，得OA＝3x，由∠PBO＝45°，得OB＝x.在△OAB中，由余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB，∴400＝3x2＋x2－2×3x2×32，∴x＝20.故旗杆的高度为20m.测量角度问题在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(3－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2nmile的C处的缉私船奉命以103nmile的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？[思路点拨]画示意图―→在△ABC中求BC和∠ABC―→在△BCD中求∠BCD[规范解答]设缉私船用th在D处追上走私船，画出示意图，则有CD＝103t，BD＝10t，2分在△ABC中，∵AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos120°＝6，6分∴BC＝6，且sin∠ABC＝ACBC·sin∠BAC＝26·32＝22，∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向成90°角.8分∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10tsin120°103t＝12，10分∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.12分解决此类问题的关键是根据题意画出图形，将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形中的边与角的关系，运用正、余弦定理求解．3．某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(3＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时102海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(3＋1)小时后开始影响基地持续2小时，求台风移动的方向．解析：如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在一条直线上，且AD＝20，AC＝20.由题意AB＝20(3＋1)，DC＝202，BC＝(3＋1)·102.在△ADC中，∵DC2＝AD2＋AC2，∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°，在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC＝AC2＋AB2－BC22AC·AB＝32.∴∠BAC＝30°.又∵B位于A南偏东60°，60°＋30°＋90°＝180°，∴D位于A的正北方向．又∵∠ADC＝45°，∴台风移动的方向为向量CD→的方向．即北偏西45°方向．答：台风向北偏西45°方向移动．◎某观测站C在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人，距C为31千米，正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问：这人还要走多少千米才能到达A城？【错解】如图，令∠ACD＝α，∠CDB＝β，在△CBD中，由余弦定理得cosβ＝BD2＋CD2－CB22BD·CD＝202＋212－3122×20×21＝－17，∴sinβ＝437.∴在△ACD中，ACsin180°－β＝21sin60°＝2132，【错因】本题在解△ACD时，利用余弦定理求AD，产生了增解，应用正弦定理来求解．∴AC＝21×23×437＝24，∴CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos60°，即212＝242＋AD2－2×24×12·AD，整理得AD2－24AD＋135＝0，解得AD＝15或AD＝9，∴这个人再走15千米或9千米就可到达A城．【正解】本题为解斜三角形的应用问题，要求这人走多少路才可到达A城，也就是要求AD的长．在△ACD中，已知CD＝21千米，∠CAD＝60°，只需再求出一个量即可．如图，令∠ACD＝α，∠CDB＝β，在△CBD中，由余弦定理得cosβ＝BD2＋CD2－CB22BD·CD＝202＋212－3122×20×21＝－17，∴sinβ＝437.而sinα＝sin(β－60°)＝sinβcos60°－sin60°cosβ＝437×12＋32×17＝5314，在△ACD中，21sin60