解析几何精编讲义2018北京

1一、直线与方程基础：1、直线的倾斜角：[0,)2、直线的斜率k：2121tanyykxx；注意：倾斜角为90°的直线的斜率不存在。3、直线方程的五种形式：①点斜式：00()yykxx；②斜截式：ykxb；③一般式：0AxByC；④截距式：1xyab；⑤两点式：121121yyyyxxxx注意：各种形式的直线方程所能表示和不能表示的直线。4、两直线平行与垂直的充要条件：1111:0lAxByC，2222:0lAxByC，1l∥2l12211221ABABCBCB；1212120llAABB.5、相关公式：①两点距离公式：11(,)Mxy，22(,)Nxy，αα2222121()()MNxxyy；②中点坐标公式：11(,)Mxy，22(,)Nxy，则线段MN的中点1212(,)22xxyyP；③点到直线距离公式：00(,)Pxy，:0lAxByC，则点P到直线l的距离0022AxByCdAB；④两平行直线间的距离公式：11:0lAxByC，22:0lAxByC，则平行直线1l与2l之间的距离1222CCdAB；⑤到角公式：（补充）直线1111:0lAxByC到直线2222:0lAxByC的角为，(0,)(,)22，则2112tan1kkkk.（两倾斜角差的正切）二、直线与圆，圆与圆基础：1、圆的标准方程：222()()xaybr；确定圆的两个要素：圆心(,)Cab，半径r；2、圆的一般方程：220xyDxEyF，（2240DEF）；3、点00(,)Pxy与圆222:()()Cxaybr的位置关系：点00(,)Pxy在圆内22200()()xaybr；点00(,)Pxy在圆上22200()()xaybr；点00(,)Pxy在圆外22200()()xaybr；4、直线:0lAxByC与圆222:()()Cxaybr的位置关系：从几何角度看：令圆心(,)Cab到直线:0lAxByC的距离为d，相离dr；3相切=dr；相交0dr；若直线:0lAxByC与圆222:()()Cxaybr相交于两点M，N，则弦长222MNrd；从代数角度看：联立:0lAxByC与圆222:()()Cxaybr，消去y（或x）得一元二次方程，24bac，相离0；相切0；相交0；相交时的弦长212122111MNkxxyyk.5、圆与圆的位置关系：相离，外切，相交，内切，内含.圆2221111:()()Oxxyyr；圆2222222:()()Oxxyyr，根据这三个量之间的大小关系来确定：12rr，12OO，12rr；相离1212OOrr；外切1212OOrr；相交121212rrOOrr；内切1212OOrr；内含12120OOrr；6、两圆2221111:()()Oxxyyr①；圆2222222:()()Oxxyyr②若相交，则相交弦所在的直线方程的求法：交轨法：①式②式，整理化简即可得到相交弦所在直线方程.4三、椭圆：1、（第一）定义：12122PFPFaFF；2、椭圆标准方程及离心率：焦点在x轴上的椭圆标准方程为：22221(0)xyabab；:a长半轴；b：短半轴；:c半焦距.椭圆中a，b，c的关系：222abc；椭圆的离心率(0,1)cea.3、弦长公式：直线:lykxb与椭圆2222:1()xyCmnmn交于两点11(,)Mxy，22(,)Nxy，则相交时的弦长212122111MNkxxyyk22212121()41kxxxxka.弦长公式是由两点距离公式与两点斜率公式推导出来，故适用性比较广。4、中点弦结论（点差法）：椭圆2222:1()xyCmnmn上的两点11(,)Mxy，22(,)Nxy，弦MN的中点1212(,)22xxyyP，则22MNOPnkkm.P1F2F55、焦点三角形面积：椭圆2222:1(0)xyCabab的两个焦点分别为1F、2F，点P是椭圆C上除左、右端点外的一点，令12FPF，则：122tan2PFFSb.该公式是由三角形面积公式、椭圆第一定义、余弦定理结合三角恒等变换推导出来。6、直线与椭圆位置关系：联立:0lAxByC与椭圆2222:1()xyCmnmn，消去y（或x）得一元二次方程，24bac，相离0；相切0；相交0；7、与点坐标相关的面积公式：(0,0)O，11(,)Axy，22(,)Bxy，点O，A，B不在一条直线上，则：122112OABSxyxy.该公式是由三角形面积公式、余弦定理结合三角恒等式推导出。四、双曲线：（类比椭圆来学习双曲线）1、定义：12122PFPFaFF；2、双曲线标准方程及离心率、渐近线方程：焦点在x轴上的双曲线标准方程为：22221(0,0)xyabab；:a实半轴；b：虚半轴；:c半焦距.双曲线中a，b，c的关系：222cab；6双曲线的离心率(1,)cea；焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为byxa；焦点到渐近线的距离db.焦点在y轴上的双曲线相关性质可以类比。3、弦长公式：直线:lykxb与双曲线2222:1(0,0)xyCabab交于两点11(,)Mxy，22(,)Nxy，则相交时的弦长212122111MNkxxyyk.4、中点弦结论（点差法）：双曲线2222:1(0,0)xyCabab上的两点11(,)Mxy，22(,)Nxy，弦MN的中点1212(,)22xxyyP，则22MNOPbkka.5、焦点三角形面积：双曲线2222:1(0,0)xyCabab的两个焦点分别为1F、2F，点P是双曲线C上除左、右端点外的一点，令12FPF，则：122tan2PFFbS.6、直线与双曲线位置关系：①当直线l与双曲线C的其中一条渐近线重合时，显然直线l与双曲线C无交点；②当直线l与双曲线C的其中一条渐近线平行时，有且仅有一个交点，此时联立直线方程与双曲线方程，会得到一个一次方程（二次项系数为0）；③当直线l与双曲线C的渐近线既不平行也不重合时，7此时联立直线方程与双曲线方程，消去y（或x）得一元二次方程，24bac，相离0；相切0；相交0；五、抛物线：1、定义：PlPFd（到定点的距离等于到定直线的距离的这样的点的轨迹即为抛物线）.2、标准方程：22(0)ypxp（开口朝右的抛物线，开口朝其它方向的抛物线方程及其它性质可以类比。）焦点(,0)2pF，准线:2plx，离心率1e.3、常见性质：①普通的弦长公式：直线ykxb与抛物线22(0)ypxp相交于两点11(,)Mxy，22(,)Nxy，则相交时的弦长212122111MNkxxyyk.②过焦点(,0)2pF的特殊弦长公式及12xx与12yy：MNxyFPQ抛物线图2抛物线图18（i）若弦MN过焦点(,0)2pF，则弦长1222sinpMNxxp（为倾斜角）；（ii）2124pxx，212yyp.③过抛物线2:2(0)Cypxp的顶点(0,0)O作两条互相垂直的射线OM、ON分别与抛物线C交于两点M，N，弦MN与x轴交于点P，则(2,0)Pp，即：4OPOF.反之亦然，即：若4OPOF，则90MON.4、抛物线中过焦点弦的其它性质（补充，作为了解,切记不能死记硬背。如死记硬背，如下知识点不如不用掌握。可以尝试证明。）设MN是过抛物线22(0)ypxp焦点F的弦，11(,)Mxy，22(,)Nxy，如图（抛物线图2），则：①22sinMONpS；②112MFNFp；③以MN为直径的圆与准线相切；④90PFQ；⑤以MF或NF为直径的圆与y轴相切.5、直线与抛物线的位置关系：①若直线与抛物线的对称轴平行或重合，则有一个交点；②若直线与抛物线的对称轴不平行，也不垂直，则根据判别式的符号来确定交点个数；③若直线与抛物线的对称轴垂直，画图数形结合很容易判断交点个数。9六、圆锥曲线的统一定义（第二定义）：到定点的距离与到定直线的距离之比为定值e，这样的点P的轨迹为圆锥曲线。（i）若(0,1)e，轨迹为椭圆.例如：定点为左焦点(,0)Fc，定直线为左准线2axc，离心率(0,1)cea；（ii）若1e，轨迹为抛物线.（iii）若(1,)e，轨迹为双曲线.七、圆锥曲线（椭圆与双曲线、圆）的第三定义到两定点(,0)Ma,(,0)Na的斜率之积为定值21e.例如：椭圆2214xy，左、右端点(2,0)A，(2,0)B，椭圆上除左、右端点外任意一点(,)Pxy，则14PAPBkk.八、椭圆、双曲线及抛物线的光学性质.圆锥曲线大题常见题型（归纳总结）：题型一、求点的轨迹问题：常见方法：①直接法：（设出所求点(,)Pxy，根据题意列出等式，建立起y与x的关系。）如椭圆的标准方程的求出，本身就是利用这种方法。②几何定义法：根据题意画出图形，通过已知条件及所学知识（如三角形中位线、圆与圆内切与外切，直线与圆相切的等价条件）得出所求点(,)Pxy满足圆的几何定义或椭圆、双曲线、抛物线的定义，从而求出点的轨迹方程；③伴随动点转化法：该类题型的特征往往是：其中一个动点如点00(,)Qxy的轨迹方程是已知的，另有一个定点A或多个定点，所求动点(,)Pxy与定点A和动点00(,)Qxy有着一定关系。这时只需这么做：根据已知条件得出：00(,)(,)xfxyygxy，代入到点00(,)Qxy的轨迹方程中，从而建立起y与x的关系，求出点(,)Pxy的轨迹方程.10④交轨法：如求两圆相交时的相交弦所在的直线方程，采用的就是这种方法。相交弦的两个端点同时在两个圆上，将这两个圆的方程相减，进行整理即得到所求直线方程.交轨法常用于解决两动曲线交点的轨迹方程问题。通过消参来求点的轨迹方程。⑤参数方程法：求动点(,)Pxy的轨迹方程，有时直接不能看出y与x的关系，但是设其中一个中间变量为t，发现根据题目已知，能很好的建立起x与t和y与t的关系，即：()()xftygt，然后通过消去参数t建立起y与x的关系从而求出点(,)Pxy的轨迹方程.题型二：直线与圆锥曲线的位置关系，相交弦长及最值问题通常的方法就是联立+韦达，结合弦长公式，将弦长表示为斜率k的函数，结合均值不等式来求最值。在运用韦达定理时，如何表示12yy，12yy以及1221xyxy呢？因为交点也在直线上，故：11ykxt，22ykxt，代入表示成与12xx和12xx相关.要注意：①直线的斜率不存在的情况需单独讨论；②验证判别式；题型三：圆锥曲线中的恒过定点、定值问题直线或圆、椭圆恒过定点问题通常是先求出所求的曲线，一般都带有参数。如直线方程中带一个参数，就很容易找出定点。但一般情况下，可能刚开始需设两个参数，然后求出曲线方程，灵活利用已知条件，最终的曲线方程是只含一个参数的情况。定值问题的求解思路，往往是：分析出一个点是哪两条曲线的交点，就联立哪两条曲线方程，用所设参数表示出动点或动直线，动中自有定数。无论怎样，“联立+韦达”的方法在解题时大量被应用到。11解圆锥曲线综合题注意三个关键：①分析相关点是由哪两种曲线相交得到的，就联立对应的这两种曲线方程.这里的曲线指广义上的曲线，包括直线；②见到“12xx，12xx，12yy，12yy，1221xyxy”这五个典型的“韦达特征式”，就要想到