2013中考数学热点剖析34 方案与设计法

专题五方案与设计方案设计问题是指解决问题的方案决策问题．同一个问题往往有多种不同的解决方案，但其中最科学、合理的方案常常仅有一种．随着课程改革的全面展开和逐步深化，有利于考查学生创新意识和实践能力的方案设计问题已经成为中考命题的一大热点．方案设计问题大多取材于生活背景，富有浓厚的生活气息，能够让学生充分体验数学知识的应用价值，有利于激发学生学习数学的乐趣和学好数学的动力，因此，这类问题必然在中考中盛久不衰，它的出现改变了学生以往只依赖于模仿和记忆的“重结果，轻过程”的学习方式，有利于培养学生动手操作和实践活动能力，更为重要的是能够让学生养成用数学的意识．方案设计例1：(2011年内蒙古乌兰察布)某园林部门决定利用现有的349盆甲种花卉和295盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧．已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆，乙种花卉4盆；搭配一个B种造型需甲种花卉5盆，乙种花卉9盆．(1)某校九年级某班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来；(2)若搭配一个A种造型的成本是200元，搭配一个B种造型的成本是360元，试说明(1)中哪种方案成本最低，最低成本是多少元？解：(1)设搭建A种园艺造型x个，则搭建B种园艺造型(50－x)个．根据题意得8x＋550－x≤3494x＋950－x≤295，解得31≤x≤33，所以共有三种方案①A：31B：19；②A：32B：18；③A：33B：17.(2)由于搭配一个A种造型的成本是200元，搭配一个B种造型的成本是360元，所以搭配同样多的园艺造型A种比B种成本低，则应该搭配A种33个，B种17个．成本：33×200＋17×360＝12720(元)．答：方案③成本最低，为12720元．小结与反思：也可列出成本和搭配A种造型数量x之间的函数关系，用函数的性质求解；或直接算出三种方案的成本进行比较也可.最值问题例2：(2010年山东青岛)某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数：y＝－10x＋500.(1)设李明每月获得利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？(2)如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？(3)根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元(成本＝进价×销售量)?解：(1)由题意，得：w＝(x－20)·y＝(x－20)·(－10x＋500)＝－10x2＋700x－10000.当x＝－b2a＝35，即销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．(2)由题意，得－10x2＋700x－10000＝2000，解得x1＝30，x2＝40，即销售单价为30元或40元．(3)∵a＝－100，∴抛物线开口向下．∴当30≤x≤40时，w≥2000.∵x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2000.设成本为P(元)，由题意，得：P＝20(－10x＋500)＝－200x＋10000.∵k＝－2000，∴P随x的增大而减小．∴当x＝32时，P最小＝3600.答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润；李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元；想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．