随机性模型(ch9-1)

第9章随机性模型§1允许缺货的存储模型§2报童最佳订购报纸模型§3钢琴销售的存贮策略§1允许缺货的存储模型一、问题的提出在商店里，若存储商品数量不足，会发生缺货现象，就失去销售机会而减少利润；如果存量过多，一时售不出去，会造成商品积压，占用流动资金过多且周转不开，这样也要造成经济损失．那么如何制定最优存储策略呢？这就面临着市场需求的随机性问题，试建立数学型，制定最优存储策略．二、模型假设允许缺货，缺货费为需求是连续的、均匀的,需求速度R为常数t时间的需求量每次定货量不变，定货费不变单位存储费不变,记为1C2C3CtR存储量与时间关系图QTOS1t1t1RtS)(1ttRt三、模型建立假设最初存储量为,S可以满足1t时间段的需求平均存储量为,2/S平均缺货量为2/)(1ttRRSt/1在t时间内所需存储费：RSCStC21112121在t时间内的缺货费：RSRtCttRC2212)(21)(21订货费：3C三、模型建立平均总费用：tCCCStC/)(),(321]2)(2[1),(32221CRSRtCRSCtStC求最佳存储策略,使平均总费用最小.四、模型求解利用多元函数求极值的方法求解四、模型求解利用多元函数求极值的方法求解0])([121RSRtCRSCtSC0)]([1]2)(2[12322212SRtCtCRSRtCRSCttC,)(2212130RCCCCCt)(2211320CCCRCCS四、模型求解),(),(min00StCStC213212CCRCCC当C2很大时（不允许缺货）结果分析,2130RCCt.2130CRCSRCCStC31002),(两次订货间隔时间延长四、模型求解在不允许缺货的情况下结果分析订货量00RtQ21213)(2CCCCRC在允许缺货情况下，存储量只需达到)(2211320CCCRCCS时间内的最大缺货量0t)(22123100CCCRCCSQ五、模型的分析与推广这里的模型是在假定需求是连续均匀的，且需求速度为常数.事实上在大多实际问题中需求速度是随机的，这样模型的使用受到了一定的局限．例一鞋店平均每天卖出110双鞋，批发手续为每次200元，每双鞋每存储一天的费用为0.01元，问该鞋店多少天批发一次最好，进货量为多少？最佳进货周期RCCt13021911001.02002（天）进货量20901101900RtQ（双）不允许缺货例题§2报童最佳订购报纸模型一、问题的提出在日常生活中，经常会碰到一些季节性强、更新快、不易保存等特点的物品，因此在整个的需求过程中只考虑一次进货的问题．这就产生一种两难局面：定货量过多，出现过剩，会造成损失；定货量少，又可能失去销售机会，影响利润．报童就面临这种局面.报童每天早晨从邮局买报纸在街上零售，到晚上卖不完的报纸可退回邮局，每份得赔钱，那么报童每天应该订购多少份报纸．二、模型假设（1）邮局有足够的报纸可供报童购买；（2）当天的报纸卖不出去，到明天就没有人再买；（3）每份报纸在当天什么时候卖出是无关紧要的；（4）报童除了从邮局买报所需费用以外,其它费用一概不计。三、模型建立QX0随机变量分布律为),2,1()(ipiXPi分析：每天从邮局订购Q份报纸，每卖出一份报纸能挣k分钱；每退回邮局一份报纸，得赔h分钱。1、供过于求:QiipiQh0)(平均损失费为卖出报纸的数量X三、模型建立QX2、供不应求:1)(QiipQik平均损失费为QiipiQhQC0)()(总的平均损失费用1)(QiipQik模型)(minQC优化模型四、模型求解用差分法求解,0)()1(QCQCC令从中解出Q．210)]1([)1()1(QiiQiipQikpiQhQC10)1()1(QiiQiipQikpiQhkpkhQCQii0)()(四、模型求解用差分法求解,0)()1(QCQCC令得kpkhQCQCCQii0)()()1(hkkpQii0即hkkQXP)(于是得最佳订货量Q从报童赢利的最大期望出发，求得最佳订购量定期定量定货一般情况，上一阶段未出售的货物可以在第二阶段继续出售，这时只要将第一阶段未出售的货物数量作为第二阶段初的存储量，仿照上述方法可求得最佳存储策略．五、模型的分析及推广Q从报童赢利的最大期望出发，求得最佳订购量定期定量定货一般情况，上一阶段未出售的货物可以在第二阶段继续出售，这时只要将第一阶段未出售的货物数量作为第二阶段初的存储量，仿照上述方法可求得最佳存储策略．Q变需求量的确定型库存问题设第i个月的需求量为,ib自行生产的产量为,ix设某工程，在第一个月至第N个月内需要某种物料，其数量是变化的。最大生产能力为,ip月末的库存量为,iy最大的库存容量为,v单位产品的生产费用为,0c库存费用为1c问应如何安排各月的生产量和库存量，才能使总费用F最省？NiyxpyvbxyytsycxcFiiiiiiiNiii,,2,1000,..)(min01110§3钢琴销售的存贮策略钢琴销售量很小，商店的库存量不大以免积压资金一家商店根据经验估计，平均每周的钢琴需求为1架存贮策略：每周末检查库存量，仅当库存量为零时，才订购3架供下周销售；否则，不订购。估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大，以及每周的平均销售量是多少。背景与问题问题分析顾客的到来相互独立，需求量近似服从泊松分布，其参数由需求均值为每周1架确定，由此计算需求概率存贮策略是周末库存量为零时订购3架周末的库存量可能是0,1,2,3，周初的库存量可能是1,2,3。用马氏链描述不同需求导致的周初库存状态的变化。动态过程中每周销售量不同，失去销售机会（需求超过库存）的概率不同。可按稳态情况（时间充分长以后）计算失去销售机会的概率和每周的平均销售量。模型假设钢琴每周需求量服从泊松分布，均值为每周1架存贮策略：当周末库存量为零时，订购3架，周初到货；否则，不订购。以每周初的库存量作为状态变量，状态转移具有无后效性。在稳态情况下计算该存贮策略失去销售机会的概率，和每周的平均销售量。模型建立Dn~第n周需求量，均值为1的泊松分布)2,1,0(!/)(1kkekDPnSn~第n周初库存量(状态变量)状态转移规律nnnnnnnSDSDDSS,3,1368.0)0()11(111nnnDPSSPp0)12(112nnSSPp632.0)1()13(113nnnDPSSPp}3,2,1{nSDn01233P0.3680.3680.1840.0610.019448.0368.0184.0264.0368.0368.0632.00368.0333231232221131211pppppppppP状态转移阵448.0)3()0()33(133nnnnDPDPSSPp……模型建立Pnana)()1(3,2,1),()(iiSPnani状态概率)452.0,263.0,285.0(),,(321马氏链的基本方程448.0368.0184.0264.0368.0368.0632.00368.0P正则链稳态概率分布w满足wP=w已知初始状态，可预测第n周初库存量Sn=i的概率0,NPN正则链02Pn,状态概率)452.0,263.0,285.0()(na第n周失去销售机会的概率)(nnSDPn充分大时inwiSP)(模型求解105.0452.0019.0263.0080.0285.0264.0从长期看，失去销售机会的可能性大约10%。1.估计在这种策略下失去销售机会的可能性)()(31iSPiSiDPninnD01233P0.3680.3680.1840.0610.019321)3()2()1(wDPwDPwDP)452.0,263.0,285.0(w模型求解第n周平均售量]),([311innijniSjDPjR857.0452.0977.0263.0896.0285.0632.0)(])()([311iSPiSiDiPiSjDPjninnnnij从长期看，每周的平均销售量为0.857(架)n充分大时inwiSP)(需求不超过存量,销售需求需求超过存量,销售存量思考：为什么这个数值略小于每周平均需求量1(架)?2.估计这种策略下每周的平均销售量),(iSiDiPnn敏感性分析当平均需求在每周1(架)附近波动时，最终结果有多大变化。设Dn服从均值为的泊松分布)2,1,0(,!/)(kkekDPkneeeeeeeeP)2/(12/)1(11022状态转移阵0.80.91.01.11.2P0.0730.0890.1050.1220.139第n周(n充分大)失去销售机会的概率)(nnSDPP当平均需求增长（或减少）10%时，失去销售机会的概率将增长（或减少）约12%。